Svagt derivat

" Svag derivata " (i matematik ) är en generalisering av begreppet en derivata av en funktion ("stark derivata") för funktioner som är Lebesgue-integrerbara (det vill säga från rymden $L_{1}$ ), men som inte är differentierbara .

Definition

Låta vara en funktion från . En funktion av kallas en "svag derivata" if $u$ $L^{1}([a,b])$ $v(t)$ $L^{1}([a,b])$ $u$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

för alla kontinuerligt differentierbara funktioner för . Denna definition är baserad på metoden för integrering av delar . $\varphi$ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$

Generalisering till mätningar, om och tillhör utrymmet för lokalt integrerbara funktioner för någon domän , och om är ett multiindex , kallas då en svag derivata av ordningen om $n$ $u$ $v$ $L_{loc}^{1}(U)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\alfa$ $v$ $u$ $\alfa$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

för alla — ändlig i oändligt jämna funktioner. $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ $U$

Om en funktion har en svag derivata, betecknas den ofta med , eftersom den är unik upp till en uppsättning av måttet noll. $u$ $D^{\alpha }u$

Exempel

Funktion u : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, som inte har någon derivata i punkten t = 0, har ändå en svag derivata v på intervallet [−1, 1] , den så kallade ”teckenfunktionen” ( sgn ), definierad av följande relation:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{cases}}

Detta är inte den enda derivatan av u : varje funktion w som sammanfaller med v nästan överallt kommer också att vara en svag derivata av u . Vanligtvis är detta inte ett problem, eftersom både Lp- utrymmena och Sobolev-utrymmenas synvinkel är likvärdiga.

Den karakteristiska funktionen för mängden rationella tal D ( Dirichlet-funktionen ) är ingenstans differentierbar, utan har en svag derivata överallt. Eftersom Lebesgue-måttet på rationella tal är lika med noll, alltså

\int D(t)\varphi (t)dt=0

Det finns alltså en svag derivata av funktionen D . Detta bör vara intuitivt, eftersom D i utrymmet Lp är ekvivalent med den identiska nollan.

v(t)\equiv 0

Egenskaper

Om två funktioner är svaga derivator av samma funktion, sammanfaller de på en uppsättning av fullt mått ( nästan överallt ). Om vi, som är brukligt i spaces , antar att nästan överallt lika funktioner är ekvivalenta, så är den svaga derivatan unikt definierad. $L_{p}$

Om u har en vanlig ("stark") derivata, så blir det en svag derivata. I denna mening är den svaga derivatan en generalisering av den starka. Dessutom bevaras de klassiska reglerna för derivator av summor och produkter av funktioner även för svaga derivator.

Utveckling

Konceptet med ett svagt derivat lade grunden för konstruktionen av den sk. svaga lösningar i Sobolev-rymden , som visade sig användbara i teorin om differentialekvationer och i funktionsanalys .

Litteratur

Mikhlin S.G. Kurs i matematisk fysik. - 2:a, stereotypt. - St Petersburg. : Lan, 2002. - 576 sid. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. Några tillämpningar av funktionsanalys i matematisk fysik. — 3:e uppl., reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1988. — 336 sid. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N.N. Linjära och kvasilinjära ekvationer av elliptisk typ. — M .: Nauka , 1973. — 576 sid.