Medföljande matris

I linjär algebra, den medföljande matrisen för ett enhetligt polynom

{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n))

kallas en kvadratisk matris

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\\\end{bmatrix}}.

Egenskaper

Polynomet är både det karakteristiska och det minimala polynomet för matrisen , och det är i denna mening som matrisen åtföljer polynomet . $p(x)$ $C(p)$ $C(p)$ $p(x)$

Om är en dimensionsmatris med element från fältet , då är följande påståenden likvärdiga: $A$ $n\ gånger n$ $\mathbb {F}$

$A$ liknar sin medföljande matris över fältet . $\mathbb {F}$
Det karakteristiska polynomet i en matris är detsamma som dess minimala polynom . $A$
Det finns en cyklisk vektor så att vektorerna utgör en bas för rummet . $v\in V=F^{n}$ $v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v$ $V$

Inte varje kvadratisk matris är som en medföljande matris, men vilken kvadratisk matris som helst är som en blockdiagonal matris , vars block är en medföljande matris. Dessutom kan dessa medföljande matriser väljas så att deras polynom delar varandra. En sådan matris är unikt bestämd från den ursprungliga kvadratiska matrisen och kallas Frobenius normalform .

Diagonaliserbarhet

Om polynomet har rötter: (som är egenvärden för matrisen ), så är det diagonaliserbart , det vill säga det kan representeras som $p(x)$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $C(p)$ $C(p)$