Wienerkorv

Wienerkorven är grannskapet till den Brownska rörelsebanan vid tidpunkten t , givet av alla punkter som inte är mer än ett givet avstånd från banpunkterna. Det kan avbildas som en korv med en given radie, vars guide är banan för Brownsk rörelse. Wienerkorv uppkallades efter Norbert Wiener av forskarna Monroe D. Donsker och S.R. Srinavas Varadhan ( 1975 ) på grund av dess koppling till Wienerprocessen . Wienerkorven är en av de enklaste icke-Markov-funktionerna i Brownsk rörelse. Det används i slumpmässiga processer, inklusive värmeledning. Det beskrevs först av Frank Spitzer ( 1964 ) och användes av Mark Katz och Luttinegr ( 1973 , 1974 ) för att förklara resultaten av Bose-kondensatexperiment ( 1975 ). $t$

Definitioner

Wienerkorven med radie och längd är en flervärdig slumpvariabel på Brownska banor b (i något euklidiskt utrymme), definierad som $W_{\delta }(t)$ $\delta$ $t$

W_\delta(t)({b})

är en uppsättning punkter som ligger på ett avstånd som inte är mer än från någon punkt b ( x ) på banan b c .

\delta

0\leq x\leq t

Wienerkorvens volym

Mycket arbete har gjorts på beteendet hos wienerkorvens volym (dess Lebesgue-mått ) eftersom dess radie tenderar till noll ( ). Detta motsvarar faktiskt en oändlig förlängning av korven ( ). Spitzer visade att i tre dimensioner är det förväntade värdet av volymen av en korv $|W_{\delta }(t)|$ $\delta \högerpil 0$ $t\högerpil\infty$

$E(|W_\delta(t)|) = 2\pi\delta t + 4\delta^2\sqrt{2\pi t} +4\pi\delta^3/3.$

I det dimensionella utrymmet vid , är asymptotiken för wienerkorvens volym vid lika med $d$ $d\geq 3$ $t\högerpil\infty$

$\delta^{d-2} \pi^{d/2}2t/\Gamma((d-2)/2)$

I en- och tvådimensionella utrymmen ersätts formeln av respektive . Whitman, en elev av Spitzer, fick liknande resultat för generaliseringar av wienerkorvar med sektioner som ges av mer allmänna presskroppar än en boll. $\sqrt{8t/\pi}$ $2{\pi}t/\log(t)$

Litteratur

Donsker, M.D. & Varadhan, SRS (1975), Asymptotics for the Wiener sausage , Communications in Pure and Applied Mathematics vol. 28 (4): 525–565 , doi 10.1002/cpa.3160280406
F. den Hollander . Wienerkorv - Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098
Kac, M. & Luttinger, JM (1973), Bose-Einstein-kondensation i närvaro av föroreningar , J. Mathematical Phys. T. 14 (11): 1626–1628 , DOI 10.1063/1.1666234
Kac, M. & Luttinger, JM (1974), Bose-Einstein-kondensation i närvaro av föroreningar. II , J. Mathematical Phys. V. 15 (2): 183–186 , DOI 10.1063/1.1666617
Simon, Barry (2005), Funktionell integration och kvantfysik , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3 Speciellt kapitel 22.
Spitzer, F. (1964), Elektrostatisk kapacitet, värmeflöde och Brownsk rörelse , Probability Theory and Related Fields vol. 3 (2): 110–121 , DOI 10.1007/BF00535970
Spitzer, Frank (1976), Principles of random walks , vol. 34, Graduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, sid. 40 (Återtryck av 1964 års upplaga)
Sznitman, Alain-Sol (1998), Brownsk rörelse, hinder och slumpmässiga medier , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64554-3 En avancerad monografi som täcker wienerkorven.
Whitman, Walter William (1964), Some Strong Laws for Random Walks and Brownian Motion , PhD-avhandling, Cornell U.