Stationär störningsteori i kvantmekanik

Stationär störningsteori inom kvantmekaniken är en störningsteori där Hamiltonian inte är beroende av tid. Teorin byggdes av Schrödinger 1926.

Teorin är tillämpbar för tillräckligt svaga störningar: , medan parametern måste vara så liten att störningen inte förvränger det opåverkade spektrumet för mycket . $H = H_0 + \lambda H_1$ $\lambda$ $H^0$

Icke-degenererat spektrum

I störningsteorin representeras lösningen som en expansion

|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,

E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...

Naturligtvis måste Schrödinger-ekvationen vara sann :

H|n\rangle = E_n|n\rangle.

Genom att ersätta expansionen i denna ekvation får vi

(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =

(E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...)

Genom att samla termer av samma ordning i får vi ekvationssekvenser $\lambda$

H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle,

H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle,

H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.

etc. Dessa ekvationer måste lösas sekventiellt för att erhålla och . Indextermen är lösningen på den oberörda Schrödinger-ekvationen, så man talar också om "nollordningens approximation". Likaså talar man om "approximation av k:te ordningen" om lösningen beräknas upp till termerna och . $E^k_n$ $n^k$ $k = 0$ $E^k_n$ $n^k$

Från den andra ekvationen får vi att det är möjligt att unikt bestämma lösningar för med endast ytterligare villkor, eftersom varje linjär kombination är en lösning. Det finns en fråga om normalisering. Vi kan anta att , men samtidigt, normalisering av den exakta lösningen innebär . Sedan, i första ordningen (med avseende på parametern λ), för normaliseringsvillkoret måste vi ställa in . Eftersom valet av fas inom kvantmekaniken är godtyckligt kan man utan förlust av allmänhet säga att ett tal är verkligt. Därför , och, som en konsekvens, kommer det införda ytterligare villkoret att ta formen: $n^1$ $n^1$ $n^0$ $\langle n^0|n^0\rangle = 1$ $\langle n|n\rangle = 1$ $\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0$ $\langle n^0|n\rangle$ $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$