Betydande mångfald

Essentiella sorter är en speciell typ av slutna sorter. Konceptet introducerades av Gromov i studien av systolisk ojämlikhet . [ett]

Definition

$n$ Ett dimensionellt sluten grenrör sägs vara väsentligt om det finns ett asfäriskt topologiskt utrymme och en kontinuerlig kartläggning som tar den grundläggande klassen till en homologiklass som inte är noll . $M$ $K$ $M\to K$ $M$ $K$

Med andra ord definierar den fundamentala klassen ett element som inte är noll i homologin för sin fundamentala grupp . Mer exakt, om det finns en ptospace , så ger kartläggningen som inducerar en isomorfism av grundläggande grupper en icke-trivial homomorfism $[M]$ $\pi _{1}(M)$ $N$ $K(\pi _{1}(M),1)$ $M\to N$

H_{n}(M)\till H_{n}(N).

Här tas den grundläggande klassen i homologi med heltalskoefficienter om grenröret är orienterbart och koefficienterna modulo 2 annars.

Exempel

Alla slutna ytor (det vill säga 2-grenrör) är väsentliga, med undantag för 2-sfären S 2 .
Det verkliga projektiva utrymmet är viktigt eftersom inkluderingen ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty ))$

är injektiv i homologi och

\mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)

är K(π,1)-rummet för en ändlig cyklisk grupp av ordning 2.

Alla kompakta asfäriska grenrör är väsentliga (eftersom asfäritet innebär att grenröret i sig redan är ett K(G,1)-utrymme ).
- I synnerhet är alla kompakta hyperboliska grenrör väsentliga.
Alla linsutrymmen är viktiga.

Egenskaper

Den sammankopplade summan av ett väsentligt grenrör med ett stängt grenrör är väsentligt.
Den direkta produkten av väsentliga sorter är väsentlig.
Varje sort som kan kartläggas från en grad som inte är noll till en väsentlig är också väsentlig.
För väsentliga grenrör gäller den systoliska ojämlikheten .
- Denna egenskap är det främsta skälet till att införa denna definition.

Anteckningar

↑ Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.