Tangentvärderad form

Tangentvärdade former är en generalisering av differentialformer , där formens värdeuppsättning är tangentbunten till grenröret .

Definition

En tangentvärderad form på ett grenrör är en sektion av tensorprodukten av tangent- och ytterpotenserna för de kotangensbuntar till grenröret: $M$

\omega \colon M\to \left(\wedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}TM

\pi \circ \omega =\imath d

Operationer

Intern differentiering
Extern differentiering

Lögnderivata

Ett specialfall av tangentiellt värderade former är vektorfält . Lie-derivatan av ett tensorfält med avseende på ett vektorfält definieras på standardsättet: $T$ $X$

L_{X}T={\frac {d}{dt}}g^{t}T

där är fasflödet som motsvarar vektorfältet . Denna operation är relaterad till intern multiplikation av en differentialform med ett vektorfält och extern differentiering med homotopiformeln : ${\displaystyle g^{t))$ $X$ $\imath _{X}$

L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}

det är

L_{X}=[\imath _{X},d]

var är kommutatorn i den graderade algebra av härledningar av tangentiellt värderade former. För en godtycklig tangentiellt värderad form definieras Lie-derivatan analogt: $[\cdot ,\cdot]$ $K$

L_{K}=[\imath _{K},d]

Egenskaper

$[L_{K},d]=0$

Frölicher-Nijenhuis fäste

Frölicher-Nijenhuis parentes av två tangentiellt värderade former och definieras som en sådan unik tangentiellt värderad form för vilken $[\cdot ,\cdot]$ $K$ $F$ $[K,F]$

[L_{K},L_{F}]=L([K,F])

Denna operation klassificeras som antikommutativ och uppfyller den graderade Jacobi-identiteten . Om vi uppfattar en nästan komplex struktur som en tangentvärderad 1-form, uttrycks dess Nijenhuis-tensor (en tensor som förhindrar sökandet efter komplexa lokala kartor) genom Frölicher-Nijenhuis-parentesen som . [1] Villkoret för "integrerbarhet" för en viss struktur som försvinnande av några av dess parenteser med sig själv är vanligt: till exempel kan associativitetsvillkoret för en algebra definieras som försvinnandet av Gerstenhaber-parentesen på utrymmet för koddifferentieringar av en fri koalgebra som genereras av det underliggande vektorutrymmet av algebra , placerad i gradering 1 (bilinjär multiplikation är samma som graderingskodifferentiering 1) [2] . $jag$ $[I,I]$ $A$ $A$ $\mu \colon A\otimes A\to A$

Nijenhuis-Richardson fäste

Nijenhuis-Richardson parentes (algebraisk parentes) av två tangentiellt värderade former och definieras som den enda tangentiellt värderade formen för vilken ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge ))$ $K$ $F$ ${\displaystyle [K,F]^{\wedge ))$

[\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })

Denna operation klassificeras som antikommutativ och uppfyller den graderade Jacobi-identiteten . Explicit form för parenteser av två former , : $K\in \Omega ^{k+1}(M,TM)$ $F\in \Omega ^{f+1}(M,TM)$

[K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K

Relaterade definitioner

En form kallas lödning om den ligger i . $T^{*}M\otimes TM$

Anteckningar

↑ Dussin definitioner av Nijenhuis-tensorn av en nästan komplex struktur . $N_{J}\in \Lambda ^{2}T^{*}M\otimes TM$ $J\in T^{*}M\otimes TM$ . Tillträdesdatum: 31 januari 2016. Arkiverad från originalet den 26 mars 2015. (obestämd)
↑ Homological methods in Non-commutative Geometry, föreläsning 8. Arkiverad 24 mars 2017 på Wayback Machine , Lemma 8.2

Litteratur

GA Sardanashvili Moderna metoder för fältteori. Vol. 1: Geometry and classical fields, - M. : URSS, 1996. - 224 sid.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .