Bargmans teorem

Bargmans teorem är ett uttalande om egenskapen hos fastransformationer i icke-relativistisk kvantmekanik , som förbjuder att beskriva överlagringen av vågfunktioner som motsvarar partiklar med olika massor. Det bevisades första gången av Valentin Bargman 1954 [1] .

Formulering

I icke-relativistisk kvantmekanik är det omöjligt att beskriva tillstånd där det finns ett masspektrum eller instabila elementarpartiklar.

Bevis

Tänk på Schrödinger-ekvationen : . Betrakta den galileiska transformationen av formen: , , där är en konstant ortogonal matris som beskriver den rumsliga rotationen, är en konstant hastighetsvektor som beskriver den galileiska transformationen, är en konstant skiftvektor av ursprunget i rymden, är en konstant förskjutning av tidsreferensen . Betrakta den galileiska transformationen som ett resultat av att tillämpa någon enhetlig operator , som transformerar vågfunktionen enligt följande: . Invarians med avseende på den galileiska transformationen innebär att den måste uppfylla samma Schrödinger-ekvation som : . Med hjälp av egenskaperna , , ersätter vi till . Som ett resultat får vi : Den sista termen är lika med noll om Schrödinger-ekvationen är uppfylld, eftersom och är oberoende, därför följer två villkor: , . Om vi ersätter det första villkoret med det andra får vi . Som ett resultat av integration får vi: , där är integrationskonstanten. Transformationsfasen kan således inte uteslutas genom något val av integrationskonstanten. Därav följer att det inte finns några icke-relativistiska kvantmekaniska tillstånd som beskrivs av linjära överlagringar av vågfunktioner som motsvarar partiklar med olika massor. I icke-relativistisk kvantmekanik är det omöjligt att beskriva tillstånd där det finns ett masspektrum eller instabila elementarpartiklar. [2] $i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi =0$ $q\högerpil q'=Rq+Vt+a$ $t\högerpil t'=t+b$ $R$ $V$ $a$ $b$ $U$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $\psi'$ $\psi$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ ${\frac {\partial }{\partial t))={\frac {\partial }{\partial t'))+V\nabla '$ $\nabla =R\nabla '$ $\nabla ^{2}=\nabla '^{2}$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ $\left[-{\frac {\partial f}{\partial t'}}-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\ frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f\right]e^{{if}}\Psi +i\left(V-{\frac {1}{m}}\nabla ' f\right)e^{{if}}\nabla '\Psi +\left(i{\frac {\partial \Psi }{\partial t'}}-{\frac {1}{2m}}\nabla '^{{2}}\Psi \right)e^{{if}}=0$ $\psi$ $\nabla '\Psi$ $\nabla 'f=mV$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i }{2m}}\nabla '^{{2}}f$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-{\frac {mV^{2}}{2}}$ $f(q',t')=mVq'-{\frac {1}{2}}mV^{2}t'+C$ $C$

Se även

Schrödingergruppen

Anteckningar

↑ Bargmann V., Ann. Math. 59:1 (1954)
↑ Kaempfer, 1967 , sid. 385.

Litteratur

Kaempfer F. Grunderna i kvantmekaniken. — M .: Mir, 1967. — 391 sid.