Bendixons sats om frånvaron av slutna banor

Bendixsons teorem säger att om divergensen för ett vektorfält på ett plan (eller tvådimensionellt grenrör) har konstant tecken och icke-noll i någon enkelt sammankopplad domän, så finns det inga slutna faskurvor för detta fält som ligger helt i denna domän. I synnerhet tillåter tecknet oss att visa att det inte finns några gränscykler i domänen .

Bendixsons teorem är ett specialfall av Dulacs kriterium .

Strikt formulering

Betrakta vektorfältet som är satt i ett enda enkellänksområde . Låt oss anta att divergensen i fältet inte ändrar tecken i hela regionen och att den inte är noll. Då har inte faskurvorna för den autonoma differentialekvationen slutna banor som ligger helt i . $v(x)$ $U$ $(x\in U\subset \mathbb {R} ^{2})$ $U$ $v$ ${\dot {x}}=v(x)$ $U$

Utan förlust av generalitet kommer vi i det följande att anta att divergensen har ett positivt tecken. Om fältet skrivs i koordinater som , så skrivs satsens tillstånd som $v$ ${\displaystyle v(x)={\big (}v_{1}(x_{1},x_{2}),v_{2}(x_{1},x_{2}){\big )))$

{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}>0

för alla . $x\i U$

Bevis

Låt oss argumentera tvärtom. Låt oss anta att det finns en stängd bana . Betrakta fältflödet genom slingan : $\gamma \subset U$ $v$ $\gamma$

h=\oint \limits _{\gamma }v(x)\,dl.

Eftersom fältet berör kretsen är denna ström noll. Å andra sidan, enligt Gauss-Ostrogradsky-formeln , är detta flöde lika med integralen av fältdivergensen över den region som avgränsas och ligger i på grund av den senares enkla koppling: $V$ $\gamma$ $U$

h=\int \limits _{V}\operatörsnamn {div} v(x)\,dx_{1}dx_{2}>0.

Den sista ojämlikheten är giltig med tanke på integrandens konstanta tecken. Motsägelsen bevisar satsen.

Litteratur

Differentialekvationer i exempel och problem. Referenshandbok för högre matematik. T. 5. M.: Editorial URSS, 2001., sid. 306.