Brun-Tichmarsh teorem

Brun-Tichmarsh-satsen är ett uttalande inom analytisk talteori som definierar en övre gräns för fördelningen av aritmetiska progressioner av primtal . Den bär namnet på matematikerna Viggo Brun och Edward Charles Tichmarsh .

Satsen säger att om lika med antalet primtal jämförbara med modulo vid , då: $\pi (x;q,a)$ $sid$ $a$ $q$ $p\leqslant x$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)))

för alla . $q<x$

Historik

Satsen bevisades med hjälp av siktningsmetoder Montgomery och Vaughn 1973 [1] . Ett tidigare resultat av Brun och Tichmarsh är en svagare version av denna ojämlikhet (med en extra faktor ). $1+o(1)$

Buffs

Om relativt liten, det vill säga , så finns det en bättre gräns: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8)))))

Detta visades av Motohashi [2] , som använde den bilinjära strukturen i resttermen av Selberg-sikten , upptäckt av honom själv. Senare utvecklades idén om att använda strukturer i resten av sikten, tack vare förlängningar av den kombinatoriska sikten av H. Iwaniec , till huvudmetoden för analytisk talteori.

Jämförelse med Dirichlets teorem

I motsats till Brun-Tichmarsh- satsen ger Dirichlet-satsen om primtal i aritmetisk progression en asymptotisk uppskattning, som kan uttryckas i formen:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ log x}}\right)}\right)

men denna uppskattning kan endast bevisas under starkare restriktioner för konstanten , och detta är Siegel-Wolfitz teorem . ${\displaystyle q<(\log x)^{c))$ $c$

Litteratur

Yoichi Motohashi. Siktmetoder och primtalsteori. - Tata IFR och Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. Tillämpningar av siktmetoder på talteorin. - Cambridge University Press, 1976. - P. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H.L. Montgomery, R.C. Vaughan. Den stora silen // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .