Wigner-Eckarts sats

Wigner-Eckart- satsen är en sats från representationsteori och kvantmekanik . Den säger att matriselementet för den sfäriska operatorn i basen av egenfunktionerna för rörelsemängdsoperatorn kan representeras som en produkt av två storheter, varav den ena inte beror på rörelsemängdens projektioner, och annan är Clebsch-Gordan-koefficienten . Namnet på satsen kommer från namnen på Eugene Wigner och Karl Eckart , som utvecklade en konstruktion som förbinder symmetrin i omvandlingen av rymdgrupper med lagarna för bevarande av energi, rörelsemängd och rörelsemängd. [ett]

Wigner-Eckart-satsen är formulerad enligt följande:

\langle jm|T_{q}^{k}|j'm'\rangle =\langle j||T^{k}||j'\rangle C_{kqj'm'}^{jm} ,

där är en sfärisk tensor rang , och är egenfunktionerna för den totala rörelsemängden och dess z - komponent , beror inte på och , och är Clebsch-Gordan koefficienter för addition och att få . $T_{q}^{k}$ $k$ $|jm\rangle$ $|j'm'\rangle$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\langle j||T^{k}||j'\rangle$ $m$ $q$ $C_{{kqj'm'}}^{{jm}}=\langle j'm';kq|jm\rangle$ $j'$ $k$ $j$

Som en konsekvens säger Wigner-Eckart-satsen oss att verkan av den sfäriska rangtensoroperatorn på vinkelmomentets egenfunktion är densamma som att lägga till ett tillstånd med rörelsemängd till det ursprungliga tillståndet. Matriselementen som hittas för den sfäriska tensoroperatorn är proportionella mot Clebsch-Gordan-koefficienterna som uppstår när två vinkelmoment adderas. $k$ $k$

Exempel

Tänk på medelvärdet för koordinaten . Detta matriselement är medelvärdet för koordinatoperatorn i den sfäriskt symmetriska grunden för väteatomens egentillstånd. Att hitta dessa matriselement är en icke-trivial uppgift. Användningen av Wigner-Eckart-satsen förenklar dock denna uppgift. (Faktum är att det är möjligt att få lösningen direkt med paritet .) $\langle njm|x|njm\rangle$

Det är känt att det är en av komponenterna i vektorn . Vektorerna är tensorer av första rang, så är någon linjär kombination av , där . Det kan visas att , där sfäriska tensorer [2] definieras enligt följande: och (tecknen måste väljas enligt definitionen [2] av den sfäriska tensoren av rang . Därför är de endast proportionella mot stegoperatorer ). Det är därför $x$ ${\vec {r))$ $x$ $T_{q}^{1}$ $q=-1,0,1$ $x={\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}$ $T_{0}^{1}=z$ $T_{\pm 1}^{1}=\mp (x\pm iy)/{\sqrt {2))$ $k$ ${\displaystyle T_{q}^{1))$

\langle njm|x|n'j'm'\rangle =\left\langle njm\left|{\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{ \sqrt {2}}}\right|n'j'm'\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle nj||T^{1}||n'j '\rangle (C_{1(-1)j'm'}^{jm}-C_{11j'm'}^{jm}).

Uttrycken ovan ger oss matriselementen för in basis . För att hitta medelvärdet sätter vi , , och . Urvalsreglerna för och är följande: för sfäriska tensorer . Så snart försvinner Clebsch-Gordan-koefficienterna, vilket leder till noll medelvärden. $x$ $|njm\rangle$ $n'=n$ $j'=j$ $m'=m$ $m'$ $m$ $m\pm 1=m'$ $T_{{\mp 1}}^{{(1)))$ $m'=m$

Anteckningar

↑ Eckart Biografi Arkiverad 25 mars 2007. — National Academies Press.
↑ 1 2 J. J. Sakurai: "Modern kvantmekanik" (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).

Länkar

JJ Sakurai, (1994). "Modern Quantum Mechanics", Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 .
Weisstein, Eric W. Wigner–Eckart-teorem (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
Wigner–Eckarts sats
Tensoroperatörer _