Clebsch-Gordan koefficienter

Clebsch-Gordan-koefficienterna finner tillämpning för att beskriva interaktionen mellan kvantmekaniska vinkelmoment. De är expansionskoefficienterna för egenfunktionerna för den totala rörelsemängden i termer av grunden för egenfunktionerna för den summerade rörelsemängden. Clebsch-Gordan-koefficienterna används i beräkningen av spin-omloppsinteraktionen , såväl som i isospin - formalismen .

Clebsch-Gordan-koefficienterna är uppkallade efter Alfred Clebsch (1833-1872) och Paul Albert Gordan (1837-1912).

Interaktion av rörelsemängd

Se även artikeln Momentum operator .

Låt oss betrakta två vinkelmoment och , som har kvanttal och ( -komponent) och och . I det här fallet , och ta värdena och respektive. Vinkelmoment pendlar , vilket innebär att båda kan mätas samtidigt med valfri noggrannhet. Varje impulsmoment motsvarar sin egen bas av egenfunktioner (vektorer): eller . I grunden tar momentet en enkel diagonal form, på samma sätt i grunden . $J_{1}$ $J_{2}$ $j_{1}$ $m_1$ $z$ $j_{2}$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $m_{1}=[-j_{1},\;\ldots ,\;j_{1}]$ $m_{2}=[-j_{2},\;\ldots ,\;j_{2}]$ $[J_{1},\;J_{2}]=0$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $J_{1}$ $J_{2}$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$

När du interagerar, både rörelsemängd och rörelsemängd summeras till ett gemensamt moment , som har kvanttal och , med följande värden $J_{1}$ $J_{2}$ ${\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}$ $J$ $M$

|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|

och (med steg 1).

M=[-J,\;\ldots ,\;J]

Eftersom det totala vinkelmomentet består av två separata vinkelmoment och , kan det expanderas i utrymmet för produkten av två riktiga utrymmen av individuella moment: $J_{1}$ $J_{2}$

\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1} \right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .

Vektorerna för denna bas kommer emellertid inte att vara egenvektorer för det totala vinkelmomentet och dess representation i denna bas kommer inte att ha en enkel diagonal form. ${\vec {J}}$

Grund för egenvektorer för det totala vinkelmomentet

Momentumegenvektorer bestäms unikt av kvanttalen , , och . På grundval av dessa vektorer tar det totala momentet en enkel diagonal form. Nämligen ${\vec {J}}$ $J$ $M$ $j_{1}$ $j_{2}$ $J$

{\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\ hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;

J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{ 1},\;j_{2}\right\rangle .

Clebsch-Gordan-koefficienterna ger en övergång genom en enhetlig transformation från basen av produkten av egenrum av individuella moment till basen av egenvektorer . $\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle$

\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\summa _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_ {1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\ ;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Här är Clebsch-Gordan-koefficienterna. $\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle$

Egenskaper för Clebsch-Gordan-koefficienterna

Clebsch-Gordan-koefficienterna är lika med noll om ett av de två villkoren och inte är uppfyllt : ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2))$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+ m_{2}.

Clebsch-Gordan-koefficienterna ges av reella tal:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \in \mathbb {R} .

Clebsch-Gordan-koefficienten vid är satt positiv: $M=J$

\langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_ {2}\rangle >0.

Clebsch-Gordan-koefficienterna är lika i absolut värde vid : $M=-M$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2 }\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Clebsch-Gordan-koefficienterna uppfyller ortogonalitetsvillkoret:

\sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J, \;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J' ,\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.

Clebsch-Gordan-koefficienterna uppfyller ortogonalitetsvillkoret:

\sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\; j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M, \;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.

Beräkning av Clebsch-Gordan-koefficienterna

Egentillståndet med och erhålls direkt i basen av produkten av egenrymden av ingående moment (endast en koefficient är 1, resten är noll) ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ $M=J$

|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\; j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .

Genom att använda sänkningsoperatorn kan du hämta tillstånden från till eller alla tillstånd från och . ${\displaystyle J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-))$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle$ ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=-J,\;\ldots ,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2))$

Tillståndet kan erhållas från villkoret ortogonalitet till staten och överenskommelsen om att Clebsch-Gordan-koefficienten är positiv. $|j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $M=J$

Genom att tillämpa minskningsoperatorn på kan vi återigen få alla tillstånd med . Du kan iterativt tillämpa denna procedur på alla upp till . $J=j_{1}+j_{2}-1$ $M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}-1$ $J$ $J=|j_{1}-j_{2}|$

I praktiken utförs beräkningen av Clebsch-Gordan-koefficienterna enligt formeln:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1} )!(jm)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)! }}}\ gånger

\times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^ {j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(js)!(s-m_{1}-m_{2 })!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},

var

\Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})! (j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.

Om är ett heltal, så utförs summeringen i denna formel över heltalsvärden , och om är ett halvheltal utförs summeringen över halvheltalsvärden . ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$ ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$

Clebsch-Gordan-koefficienter för transformationsgruppen (generaliserade Clebsch-Gordan-koefficienter)

Betrakta en grupp och dess representation . Låt oss också välja basvektorer och irreducerbara representationer av denna grupp. Vi kallar en irreducerbar tensoroperator ( irreducible tensor ) en uppsättning operatorer om, som ett resultat av transformationer som bildar en grupp , tensorkomponenterna transformeras genom varandra enligt irreducible representationer av denna grupp, det vill säga den uppfyller följande relation : $G$ ${\displaystyle \psi _{\mu }^{(\alpha )))$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\alpha )))$ ${\displaystyle D^{(\beta )))$ $f_{k}$ $\{{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}$ $g$ $G$ ${\displaystyle {\hat {F}}_{\chi }^{(k)))$ $D^{(k)}$

{\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g ){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.

Vektorerna där utgör basen för representationen . Denna representation är generellt sett reducerbar. Därför kan den representeras som linjära kombinationer av basvektorer av irreducerbara representationer i vilka den direkta produkten av representationerna (som nämns ovan) är uppdelad . För detta används de generaliserade Clebsh-Gordan-koefficienterna för gruppen . $|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle$ ${\displaystyle \chi =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{\beta ))$ ${\displaystyle D^{(k)}\ gånger D^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\gamma )))$ $G$ $\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle$

|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \({\hat {F))^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^ {\gamma }.

De generaliserade Clebsch-Gordan-koefficienterna för en grupp definieras som koefficienterna i expansionen av basvektorerna för irreducerbara representationer till en linjär kombination av den direkta produkten av representationerna . ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )))$

\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},

var är basvektorerna för representationerna och är basvektorerna för representationen : . ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )},\;{\hat {D}}^{(\beta )))$ $\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\summa _{\gamma }^{\oplus }a^{( \gamma )}{\hat {D}}^{(\gamma )))$

Av definitionen av Clebsch-Gordan-koefficienterna följer: . $V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu}^{(\beta )}=\summa _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$
Clebsch-Gordan-koefficienterna bildar en enhetlig matris.

Se även

Länkar

Tabell med exempel för några värden av och $j_{1}$ $j_{2}$ (PDF, 70 kB) ( Obs : denna tabell förutsätter att kvadratroten av koefficientvärdet måste tas)

Litteratur

Sobelman II Introduktion till teorin om atomspektra. - Litteraturförlaget, 1963.
Blokhintsev D. I. Grunderna i kvantmekaniken. — 5:e uppl. - Nauka, 1976. - 664 sid.