Gelfond-Schneiders teorem

Gelfond–Schneider- satsen är ett teorem inom talteorin som fastställer transcendensen av en stor klass av tal och därigenom löser (jakande) Hilberts sjunde problem . Det bevisades oberoende 1934 av den sovjetiske matematikern Alexander Gelfond [1] och den tyske matematikern Theodor Schneider [2] .

Formulering

Om - algebraiska tal , och inte noll och inte ett, utan irrationellt , då är vilket värde som helst ett transcendentalt tal . $a,b$ $a$ $b$ $a^{b}$

Ekvivalenta formuleringar för logaritmer (basen för logaritmen väljs godtyckligt) [3] :

Om - algebraiska tal , inte lika med noll eller ett, då - antingen rationellt eller transcendentalt tal . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Om de är linjärt oberoende över fältet av rationella tal , så är de också linjärt oberoende av fältet för algebraiska tal . $\log(a),\log(b)$

För en generalisering av den sista formuleringen, se artikeln Theory of transcendental numbers .

Värden kan inte bara vara reella utan också komplexa tal ; eftersom den komplexa graden är flervärdig betonas den särskilt i formuleringen: valfritt värde . $a,b$
Om vi tar bort kravet som var algebraiska tal blir satsen felaktig. Exempel: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Från exemplet, med hänsyn till satsen, är det också uppenbart att det är ett transcendentalt tal.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Satsen innebär överskridandet av några viktiga matematiska konstanter .

Gelfond-Schneider-konstanten och kvadratroten av den som redan nämnts ovan : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Gelfond är konstant , och $e^{\pi }=\left(e^{i\pi}\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. VII-serien. Institutionen för matematiska och naturvetenskapliga vetenskaper. - M. , 1934. - Nummer. 4 . - S. 623-634 . Arkiverad från originalet den 9 augusti 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volym 172, 1934, s. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Transcendentala och algebraiska tal. - M. : GITTL, 1952. - 224 sid.
Transcendentalt nummer // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilberts sjunde problem. - M. : Moscow State Universitys förlag, 1982. - 312 s.
Baker, Alan. Transcendental talteori. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Introduktion till transcendentala tal. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Zhukov A. Algebraiska och transcendentala tal . Hämtad: 9 augusti 2017. (obestämd)
Feldman N. Algebraiska och transcendentala tal . Hämtad: 9 augusti 2017. (obestämd)
Ett bevis på Gelfond–Schneiders sats
Hyun Seok Lee. Om transcendensteori med lite historia, nya resultat och öppna problem . Hämtad: 9 augusti 2017. (obestämd)
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider-metoden // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider-teorem (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .