Gromovs kompakthetsteorem (Riemannsk geometri)

Gromovs kompakthetsteorem eller Gromovs valsats säger att uppsättningen av Riemannska grenrör av en given dimension med Ricci-kurvatur ≥ c och diameter ≤ D är relativt kompakt i Gromov–Hausdorff-metriken .

Historik

Satsen bevisades av Gromov , [1] Biskop-Gromov ojämlikhet används i beviset .

Utseendet på denna teorem föranledde studiet av Alexandrov-utrymmen med krökning avgränsad nedan i dimensionerna 3 och högre och, senare, generaliserade utrymmen med Ricci-krökning avgränsad nedan.

Variationer och generaliseringar

Satsen är en generalisering av Myers sats .

Gromovs teorem är en konsekvens av följande påstående.

Varje universellt fullständigt avgränsad familj av metriska utrymmen är relativt kompakt i Gromov-Hausdorff-metriken.
- En familj av metriska utrymmen sägs vara universellt fullständigt begränsad om det för någon finns ett positivt heltal så att varje utrymme från släpper in ett -nätverk av högst punkter. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$

Se även

Blaschkes valsats

Anteckningar

↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , vol. 1, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], Paris: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8

Litteratur

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrisk geometrikurs. - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .