Myers teorem

Myers sats är en klassisk sats i Riemannsk geometri .

Formulering

Om Ricci-krökningen för ett komplett dimensionellt Riemann-grenrör är begränsat nedanför av ett positivt värde för vissa , så överstiger inte dess diameter . Dessutom, om diametern är , är grenröret självt isometriskt till en sfär med konstant tvärsnittskrökning . $n$ $M$ $(n-1)k$ $k$ $\pi /{\sqrt {k))$ $\pi /{\sqrt {k))$ $k$

Konsekvenser

Detta resultat förblir giltigt för den universella täckningen av ett sådant Riemann-grenrör . I synnerhet är det universella höljet ändligt arkformigt, och därför är grundgruppen ändlig. $M$ $M$ $\pi _{1}M$

Historik

För tvådimensionella ytor bevisades satsen av Hopf och Rinow. [ett]

Teoremet är ibland uppkallat efter Ossian Bonnet på grund av hans andra resultat på klassificeringen av ytor med positiv Gaussisk krökning, [2] (detta resultat är inte direkt relaterat till uttalandet av Myers sats).

Teoremet bevisades av Myers . [3]

Jämlikhetsfallet i teoremet bevisades av Cheng 1975. [fyra]

Se även

Gromovs kompakthetsteorem (Riemannsk geometri)

Anteckningar

↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (tyska) Kommentar. Matematik. Helv. 3 (1931), nr. 1, 209-225.
↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques proprietes des lignes geodésiques." CR Acad. sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
↑ Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature , Duke Mathematical Journal vol 8(2): 401–404 , DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Egenvärdesjämförelsesatser och dess geometriska tillämpningar , Mathematische Zeitschrift T. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01214381