Dehns teorem

Dehns teorem är en rektangelskärningssats formulerad av Max Dehn 1900 .

Formulering

Om en rektangel skärs i kvadrater (inte nödvändigtvis lika), då är förhållandet mellan dess sidor rationellt .

Historik

I augusti 1900 ägde den andra internationella matematikkongressen rum i Paris . På den presenterade den tyske matematikern David Hilbert 23 problem som han ansåg vara mest relevanta för 1900-talets matematik. Det tredje problemet löstes snabbast av Max Dehn, Hilberts elev, samma år 1900. Det låter så här: är en kub och en vanlig tetraeder med lika volym sammansatta lika (dvs. kan en kub skäras i flera polyedrar och lägga ihop en vanlig tetraeder med samma volym från dem)? M. Den bevisade att sådan skärning är omöjlig. För att bevisa det introducerade han begreppet Dehn-invarianten. Efter att ha löst Hilberts tredje problem, formulerade M. Dehn 1903 rektangelskärningssatsen, i beviset för vilken han använde sin invariant.

Bevis

M. Dehns bevis var ganska komplicerat och förvirrande. Därefter dök andra, enklare bevis upp. Till exempel, 1940, gav fyra elever R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. G. Stone och W. T. Tutt ett bevis baserat på en fysisk tolkning med hjälp av elektriska kretsar (efter att ha hittat den första icke-triviala kvadraten av kvadraten ). Det är värt att notera det elementära beviset för IM Yaglom , där han använde metoden för att lösa ett system av linjära ekvationer . Ett icke-elementärt bevis för Dehns teorem med Hamel - basen var också känt. För att göra detta generaliseras begreppet område så att arean av en rektangel med ett irrationellt förhållande mellan sidor blir negativt, medan kvadraternas area förblir icke-negativa. Fedor Sharov översatte detta bevis till elementärt språk.

Litteratur