Egorovs teorem

Egorovs teorem säger att en sekvens av mätbara funktioner som konvergerar nästan överallt på en viss mängd konvergerar enhetligt på en tillräckligt stor delmängd av den.

Formulering

Låt ett utrymme ges med ett ändligt mått så att , och en sekvens av mätbara funktioner definierade på den som konvergerar nästan överallt till . Sedan för någon finns det en uppsättning sådan att , och sekvensen konvergerar enhetligt till på . $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu (X)<\infty$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$ $\varepsilon >0$ $X_{\varepsilon }\subset X$ $\mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon$ $\{f_{n}\}$ $f$ ${\displaystyle X_{\varepsilon ))$

Anteckningar

Den konvergens som härleds av satsen kallas ofta för nästan enhetlig konvergens .
Ändlighet är avgörande. Låt, till exempel, , där är en Borel σ-algebra på , och är Lebesgue mått på . Observera att . Låt , där beteckna indikatorfunktionen för uppsättningen . Konvergerar sedan till noll punktvis , men konvergerar inte enhetligt på något komplement till en uppsättning ändliga mått. $\mu (X)$ $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$ $m(\mathbb {R} )=\infty$ $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\{f_{n}\}$

Variationer och generaliseringar

Egorovs teorem generaliserar naturligtvis till fallet med funktioner med värden i ett Banach-utrymme . [ett]

Luzins teorem

Anteckningar

↑ Heinonen, Juha, et al. Sobolev-mellanslag på metriska måttutrymmen. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976. — 544 sid.
Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 sid.

Dmitri Egoroff , Sur les suites des fonctions mätbara. CR Acad. sci. Paris, (1911) 152:135–157.
Bogachev V.I. , Om historien om upptäckten av Egorovs och Luzins teorem, Historisk och matematisk forskning , vol. 48 (13), 2009.