Luzins teorem

Luzins teorem är ett uttalande om nödvändiga och tillräckliga villkor för mätbarheten av en funktion av en reell eller komplex variabel . Enligt denna sats är varje funktion mätbar på ett segment ingenting annat än en kontinuerlig funktion förvrängd på någon uppsättning godtyckligt små mått . Detta uttalande kallas också ofta för -property . $\left[a,b\right]$ $C$

Formulering

För att en funktion som definieras på intervallet ska vara mätbar är det nödvändigt och tillräckligt att den har den så kallade -egenskapen : för alla finns det en funktion som är kontinuerlig på intervallet så att måttet på mängden är mindre än . $f(x)$ $\left[a,b\right]$ $C$ $\varepsilon >0$ $\varphi(x)$ $\left[a,b\right]$ ${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\))$ $\varepsilon$

Bevis

Beviset i en form tillgänglig för nybörjare finns i boken [1] . Dessutom är Luzins sats lätt härledd från Egorovs sats [2] . I detta teorem kan ett godtyckligt litet tal inte ersättas med noll (nödvändigheten bryts). $\varepsilon >0$

Upptäcktshistorik

Anteckningar

↑ Sobolev V.I. , Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. - M .: Nauka, 1968 - s. 135.
↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. , Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - kap. V, par 4.7.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976. — 544 sid.
Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 sid.

Bogachev VI , Om historien om upptäckten av Egorovs och Luzins satser . - Historisk och matematisk forskning , vol. 48 (13), 2009.