Kelvins satser

Under Kelvins sats i hydrodynamik betyder de vanligtvis Kelvins huvudsats , men två andra Thomson (Kelvin) satser är också kända .

Kelvins teorem för irrotationsrörelse

År 1849 bevisade William Thomson minimisatsen för kinetisk energi för en vätska:

om virvelrörelsen på gränsen till något enkelt anslutet område sammanfaller med den irroterande rörelsen , så är den kinetiska energin för den irrotationsrörelsen i det aktuella området mindre än den kinetiska energin för virvelrörelsen.

Bevis för Kelvins första teorem

Kelvins sats kan bevisas utifrån det faktum att hastigheten i irrotationsrörelse är potential ( v = gradφ) och att divergensen av hastigheten för en inkompressibel vätska är noll, både för irrotationsrörelse och virvelrörelse. Låt verkligen Δ Något = Något virvla. – Något utan en virvelvind. . Sedan, för skillnaden i kinetiska energier, kan vi skriva:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

där ρ är vätskans densitet och τ är vätskevolymen . Betrakta vidare endast den första integralen till höger:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatörsnamn {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

och eftersom div(φ a ) = φ div a + gradφ a , kan integralen transformeras enligt följande:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatörsnamn {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatörsnamn {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatörsnamn {div} \mathbf {V} )d\tau ,

där σ är ytan som begränsar volymen τ, och indexet n anger vektorns normala komponent. Av satsens villkor följer att på ytan σ sammanfaller virvel- och irrotationsrörelserna, d.v.s. ΔV = 0, dessutom av inkompressibilitetsvillkoret div V = 0. I den sista likheten är alltså alla termer lika med noll och för skillnaden mellan kinetiska energier visar det sig:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

varav Kelvin-satsen följer.

Kinematisk teorem av Kelvin

Kelvins kinematiska teorem gör det möjligt att förutsäga beteendet hos ett virvelrör i tid ur en rent kinematisk synvinkel. Formuleringen av satsen är som följer:

deltidsderivatan av hastighetscirkulationen längs en sluten vätskekrets är lika med accelerationscirkulationen längs samma krets.

Bevis för Kelvins andra teorem

Låt oss beräkna deltidsderivatan av hastighetscirkulationen längs en godtycklig kontur C utan att först anta att den är stängd.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ vänster({\frac {V^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

Uppenbarligen, när kretsen är sluten, kommer den sista integralen att försvinna. På det här sättet:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot { V}} ).

Kelvins barotropiska vätskesats

Kelvins barotropiska vätskesats kallas också Kelvins fundamentalsats , som underbygger möjligheten att det finns en irrotationsrörelse:

när en barotropisk idealvätska rör sig under inverkan av potentiella krafter, ändras inte hastighetscirkulationen i en sluten vätskekrets.

Bevis för Kelvins tredje teorem

Satsen kan enkelt bevisas på grundval av föregående sats genom att ersätta acceleration i den högra sidan av uttrycket när det gäller potentiella krafter : $\mathbf {\dot {V}}=-\operatörsnamn {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatörsnamn {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

är därför en konstant. $\Gamma$

Teoremet formulerades och bevisades av W. Thomson 1869 . Differentialformen av Kelvins sats är virvelekvationen .

Litteratur

Loytsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. - 7:e upplagan, Rev. - M . : Bustard, 2003. - 840 sid. - (Klassiker av rysk vetenskap). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Föreläsningar om teoretisk hydrodynamik. - M. : MIPT, 2003. - 188 sid. — ISBN 5-7417-0222-8 .