Hadamard potensseriesats

Hadamard-potensseriesatsen (även Cauchy-Hadamard-satsen ) är ett påstående som ger en uppskattning av potensseriens konvergensradie för vissa fall. Uppkallad efter de franska matematikerna Cauchy och Hadamard . Teoremet publicerades av Cauchy 1821 [1] men förblev obemärkt tills Hadamard återupptäckte det [2] . Hadamard publicerade resultatet 1888 [3] . Han tog också med det i sin doktorsavhandling 1892 [4] .

Formulering

Låt vara en potensserie med konvergensradie . Sedan: $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ $R$

$(\alfa)$ om den övre gränsen finns och är positiv, då ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|))))$

$(\beta )$ om , då ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $R=+\infty$

$(\gamma )$ om det inte finns någon övre gräns , då . $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R=0$

Bevis

$(\alfa)$ Låt . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$

Om punkten är sådan att , då är det möjligt att hitta ett tal som , kommer att hålla för nästan alla . Det följer av denna ojämlikhet att den geometriska progressionen är en konvergent majorant av serien , det vill säga . $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|} }<1$ $q<1$ $\nu$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu ))$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ $R={\frac {1}{\lambda ))$

Om, tvärtom, punkten uppfyller villkoret , då för en oändlig uppsättning siffror , . Därför divergerar serien vid en punkt eftersom dess termer inte tenderar mot noll. $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ $z$

$(\beta )$ Låt . Sedan konvergerar sekvensen för varje till noll. Därför, om vi väljer ett nummer , så kommer olikheten att gälla för nästan alla nummer , av vilket det, som i , följer att serien konvergerar vid punkten . Formellt . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $z \in \mathbb C$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $q=q(z)\in (0;1)$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu}|<q^{\nu }$ $(\alfa)$ $z$ $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$

$(\gamma )$ Det finns ingen övre gräns i (d.v.s. formellt ) om och endast om sekvensen är obegränsad från ovan. Om så är sekvensen också obegränsad . Därför avviker serien vid punkten . Det bör noteras att för , serien konvergerar till . Slutligen (dvs formellt , faktiskt ). $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $\mathbb {R}$ $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\ mathbb {R} }}$ ${\sqrt[ {\nu }]{|a_{{\nu }}|}}$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\displaystyle z=z_{0))$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ $a_{0}$ $R=0$ $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$ $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$

Anteckningar

↑ Cauchy, A.L. (1821), Analysera algébrique .
↑ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, sid. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Översatt till engelska från italienska av Warren Van Egmond.
↑ Hadamard, J. , Sur le rayon de convergence des serie ordonnées suivant les puissances d'une variabel, CR Acad. sci. Paris T. 106: 259–262 .
↑ Hadamard, J. (1892), Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 e Série T. VIII , < https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft > . Även i Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Litteratur

Grauert G., Lieb I., Fisher W. Differential- och integralkalkyl, M., Mir, 1971