Moreras sats

Moreras sats är en omkastning (ofullständig) av Cauchys integralsats, och är en av de grundläggande satserna i funktionsteorin för en komplex variabel . Det kan formuleras så här:

Om funktionen för en komplex variabel i området är kontinuerlig och integralen av den över en sluten likriktbar kontur är lika med noll, dvs. $F Z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

då är en analytisk funktion i . $F Z)$ $D$

Villkoret för satsen kan försvagas genom att begränsa oss till kravet att integralerna som tas längs gränsen för en triangel som tillhör regionen försvinner . $D$

Idé om beviset

Beviset bygger på det faktum att en funktion som uppfyller villkoren för satsen kommer att ha en antiderivata i , det vill säga det finns en funktion sådan att $D$ $F Z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Men en funktion som är komplext differentierbar en gång är analytisk, så dess derivata kommer också att vara analytisk. $f$

Applikation

Moreras teorem är det huvudsakliga sättet att bevisa analyticiteten hos någon komplext definierad funktion. Ett av de centrala påståendena här är att om en sekvens av analytiska funktioner konvergerar enhetligt till en funktion , då $f_n$ $f$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

därför, enligt Moreras teorem, kommer gränsfunktionen också att vara holomorf. Således bevisas holomorfin för många funktioner definierade av serier och integraler, till exempel Riemann zeta-funktionen

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))

och Eulers gammafunktioner

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Moreras teorem används också för att bevisa analyticiteten hos en funktion byggd på symmetriprincipen .

Historik

Detta teorem erhölls av den italienske matematikern Giacinto Morera 1886 .

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka . - 1969, 577 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Morera's Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .