Moores kvotrymdsats

Moores kvotrumssats, ett klassiskt påstående om tvådimensionell topologi, ger ett tillräckligt villkor för att en sfärs kvotrum är homeomorft till en tvådimensionell sfär.

Bevisad av Robert Moore 1925 .

Formuleringar

Låt vara en surjektiv kontinuerlig kartläggning av en tvådimensionell sfär på ett Hausdorff-rum . Antag att förbilden , såväl som dess komplement, är anslutna för någon punkt . Sedan är det homeomorft , dessutom är kartläggningen gränsen för homeomorfismer . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $X$ $x\i X$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ $\mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\}$ $X$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$

Anteckningar

En likvärdig formulering av satsen ges på språket för ekvivalensrelationen på . Mappningen definierar en ekvivalensrelation på , definierad som ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Ekvivalensklasserna bildar en halvkontinuerlig familj av slutna uppsättningar. Det vill säga om , och för någon , då . ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\))$ $x_{n}\to x$ $y_{n}\to y$ ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n))$ $n$ $x\sim y$

Om är en ekvivalensrelation på med semikontinuerliga slutna ekvivalensklasser såsom och för vilken mängd som helst och är anslutna , då är kvotutrymmet homeomorft . $\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $x$ $[x]$ $\mathbb {S} ^{2}\omvänt snedstreck [x]$ $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$

Variationer och generaliseringar

I högre dimensioner som är nödvändiga för existensen av en nära homeomorfism, måste insprutningen från ett grenrör på ett Hausdorff-utrymme vara cellulärt . Detta betyder att för vilken punkt som helst och alla öppna uppsättningar som innehåller pre-image , kan man hitta en sluten uppsättning , homeomorf till en boll, så att . $f\colon M\to X$ $M$ $X$ $x\i X$ $U$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$

Litteratur

RL Moore. Angående övre halvkontinuerliga samlingar av continua (engelska) // Trans. amer. Matematik. Soc.. - 1925. - Vol. 25 . — S. 416–428 .
Daverman, Robert J. Nedbrytningar av grenrör. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 sid. — (Ren och tillämpad matematik, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .