Novikov kompaktlagersats

Novikovs Compact Layer Theorem : En tvådimensionell foliation på ett 3 - grenrör med icke -sammandragbar universalbeläggning har ett kompakt lager .

Novikovs kompaktlagersats om en sfär $S^{3}$

Sats: En slät 2-dimensionell foliation på en sfär har en kompakt fiber som är diffeomorf till en torus och avgränsar en region med en Reeb-foliation . $S^{3}$ $T^{2}$ $D^{2}\ gånger S^{1}$

Bevisad av S. P. Novikov 1964. Dessförinnan antog Charles Ehresmann att varje slät tvådimensionell foliation på har en kompakt fiber, vilket var sant för alla kända exempel på den tiden. Således har Reeb foliation en fiber som är en torus . $S^{3}$ $T^{2}$

Novikovs kompaktlagersats om en godtycklig $M^{3}$

1965 bevisades kompaktskiktsatsen för ett godtyckligt grenrör : $M^{3}$

Sats: Låt ett av villkoren vara uppfyllt på ett slutet grenrör med en slät tvådimensionell foliation angiven på den : $M^{3}$ $F$

grundgruppen är ändlig, $\pi _{1}(M^{3})$
andra homotopigruppen , $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$
det finns en sluten transversal homotop till noll,
det finns en fiber så att kartläggningen som induceras av inkluderingen har en icke-trivial kärna . $L\in F$ $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$

Har då en kompakt fiber av släktet . Dessutom, i alla fall utom fall 2, inkluderar bladen en Reeb-komponent , och i fall 2 inkluderar antingen en Reeb-komponent, eller så är alla fibrer slutna och diffeomorfa till sfärer eller projektiva plan . $F$ $g\leq 1$ $F$ $S^{2}$ $RP^{2}$

När det gäller beläggningar är detta teorem formulerat enligt följande:

En slät 2-dimensionell foliation på ett slutet grenrör med ett icke -sammandragbart universalhölje har en kompakt fiber. $M^{3}$

Generalisering till fallet med en ojämn foliation på $M^{3}$

År 1965 Novikovs sats bevisades för foliations av klassen . $C^\infty$

1970 gavs ett bevis för klassen [1] , $C^{2}$

År 1975, för foliations av klassen [2] . $C^1$

Slutligen, 1982 bevisade V. Solodov Novikovs teorem för foliations av klassen . Detta resultat är desto mer intressant eftersom P. Schweitzer redan 1974 konstruerade exempel på -foliations på sfärer , , som inte har kompakta fibrer [3] . $C^{0}$ $C^{0}$ $S^{2k+1}$ $k>1$

En generalisering av Novikovs teorem om en sfär om foliationer med singulariteter $S^{3}$

1973 övervägde Wagner foliationer av kodimension 1 med morse-singulariteter (dvs., ordnade lokalt som uppsättningar av morsefunktionsnivåytor ) på sfären . Morse-singulariteter är "sfäriska" och "koniska". $S^{3}$

Sats [4] : Låt en foliation ha s sfäriska singulariteter och s koniska.

Om , folieringen inkluderar Reeb - komponenten . $s=c$

Om så är alla icke-singulära fibrer av en sådan generisk foliation diffeomorfa till sfären . $s>c$ $s=c+2$ $S^{2}$

Om , folieringen kanske inte har kompakta fibrer. $s<c$

Litteratur

S.P. Novikov . Topologi av foliations//Tr. Moskva matta. öar. - 1965. - V.14. - s. 249-278.
I. Tamura . Foliationstopologi - M: Mir, 1979.
D. Sullivan , cykler för dynamisk studie av folierade grenrör och komplexa grenrör, Invent. Matematik. 36 (1976), sid . 225-255. [ett]

Anteckningar

↑ Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.—Ann. of Math., 1970, v. 91, sid. 1-24.
↑ Plante JF Foliations med mått som bevarar holonomi.—Ann. of Math., 1975, v. 102, nr 2, sid. 327-361.
↑ Schweitzer P.A. Motexempel till Seiferts gissning och öppningsblad av lövblad.—Ann. of Math., 1974, v. 100, nr 2, sid. 386-400.
↑ Wagneur E. En generalisering av Novikovs teorem till foliationer med isolerade generiska singulariteter - Topology and its Appl., Proc. Konf. Mem. Univ. Newfoundland, St. John's, Kanada, 1973, v.12, New York, 1975, s.189-198