Foliation av kodimension 1

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 mars 2017; kontroller kräver 2 redigeringar .

En foliation av kodimension 1 är en uppdelning av ett grenrör i disjunkta delmängder som lokalt ser ut som plana ytor med jämna regelbundna funktioner.

Definition

På ett dimensionellt grenrör ges en foliation av kodimension 1 om den är utrustad med en partition i väganslutna delmängder med följande egenskap: i en grannskap av någon punkt därifrån finns ett lokalt koordinatsystem , där de anslutna komponenterna av uppsättningen består av lösningar . $n$ $M$ $M$ ${\displaystyle L_{\alpha ))$ $M$ $x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R}$ $L_{\alpha }\cap U$ ${\displaystyle x^{n}={const))$

Uppsättningarna kallas bladens lager , dess totala utrymme . ${\displaystyle L_{\alpha ))$ $M$

Skikten är utrustade med en topologi baserad på de anslutna komponenterna i skärningen av lagret med öppna delmängder av det totala grenröret . Med avseende på denna topologi är ett blad ett jämnt grenrör, och dess införande i ett totalt grenrör är en inbäddning i svag mening. $M$

Relaterade definitioner

Den definierande 1-formen av foliationen

Den definierande 1-formen av en foliation i en öppen uppsättning är en slät 1-form , inte lika med noll i , vars begränsning till skärningskomponenten för vilken fiber som helst med är trivial. $U\subset M$ $\omega$ $U$ $U$

Inte varje 1-form som inte är noll definierar en foliation i , det krävs att Frobenius integrerbarhetskriteriet är uppfyllt : $U$

En jämn 1-form , inte lika med noll i , definierar en foliation om och endast om ett av de två ekvivalenta villkoren är uppfyllt i $\omega$ $U$ $U$

det finns en jämn 1-form så att $\eta$ , $d\omega =\eta \wedge \omega$
$\omega \wedge d\omega =0$ .

I synnerhet definierar varje sluten 1-form en foliation.

Om vi har en global definitionsform . En foliation av kodimension 1 definieras av en global 1-form om och endast om den är orienterbar , och valet av denna 1-form leder till valet av en viss orientering. $U=M$

Den globala definierande formen kan stängas, , endast om grenröret är en bunt över en cirkel [1] . $\omega \neq 0$ $d\omega =0$

Godbillon-Vey klass

För orienterbara blad av kodimension 1 definieras Godbillon-Wey-klassen [2] :

En orienterbar foliation ges av en global form som uppfyller integrerbarhetsvillkoret; därför finns det en jämn 1-form så att . Godbillon-Wey-klassen av en blad är den kohomologiska klassen av en form . $F$ $\omega \neq 0$ $\eta$ $d\omega =\eta \wedge \omega$ $F$ $\eta \wedge d\eta$

På ett tredimensionellt grenrör kan man definiera Godbillon-Wey-talet , det är lika med värdet av Godbillon-Wey-klassen på den grundläggande homologiklassen .

Den geometriska innebörden av Godbillon-Wey-klassen är fortfarande oklar - för närvarande kända satser visar att foliationer med en icke-trivial Godbillon-Wey-klass är ganska förvirrande.

Exempel

Smidig bunt över ett endimensionellt grenrör
Skär torus i cirklar eller irrationell lindning, $T^{2}$
Reebs blad på en sfär $S^{3}$

Tillsammans med Reeb-foliationen finns det explicita konstruktioner av foliations av kodimension 1 på ett antal andra grenrör, i synnerhet på alla udda-dimensionella sfärer [3] . $S^{2k+1}$

Egenskaper

På ett anslutet öppet grenrör finns alltid en sådan foliation [4] .
På ett slutet grenrör , för att en foliation av kodimension 1 ska existera, är det nödvändigt och tillräckligt att grenrörets Euler-karaktär är lika med noll, [5] . $M$ $\chi (M)$ $\chi (M)=0$
- I synnerhet gäller detta för alla stängda grenrör med udda dimensioner . För en yta är Euler-karaktäristiken , därför, bland alla tvådimensionella ytor, endast på
torus finns det en jämn foliation. $M^{2k+1}$ $M_{g}^{2}$ $\chi (M_{g}^{2})=2-2g$ $T^{2}$

Litteratur

I. Tamura . Foliationstopologi - M: Mir, 1979.

D.B. Fuchs . Foliations - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Algebra. Poppel. Geom., 18, VINITI, Moskva, 1981, 151–213 [1]

Anteckningar

↑ Tischler D. Om fibrering av vissa folierade grenrör över - Topology, v.9, 1970, s.153-154 $S^{1}$
↑ Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un - CrAcad. sci., 1971, v. 273, N2, s. 92-95
↑ Lawson HB Foliations. - Tjur. amer. Matematik. Soc., 1974, v.80, N3, sid. 369-418
↑ Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. - Topology, 1970, 9, N2, 183-194
↑ Thurston W. Existens av codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, s.249-268