Picards teorem (integralekvationer)

Picards sats (integralekvationer) - en sats om existensen och unikheten av en lösning för Fredholms integralekvation av 1:a slaget.

En integral Fredholmsekvation av det första slaget med en sluten symmetrisk kärna av formen , där har en unik lösning i klassen funktioner om och bara om serien konvergerar. $K(t,s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\i L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Förklaringar

I formuleringen av satsen är kärnans karakteristiska tal , Fourier - koefficienterna för funktionen med avseende på egenfunktionerna för denna kärna: . En symmetrisk kärna kallas sluten om varje funktion som uppfyller likheten är lika med noll nästan överallt i intervallet . För en sluten kärna bildar dess egenfunktioner ett ortogonalt komplett system av funktioner. $\lambda _{{k}}$ $K(t,s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $med)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}} (s)ds$ $K(t,s)$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sigma (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$

Bevis

Antag att det finns en lösning på ekvationen . $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Låt oss hitta Fourier-koefficienterna för funktionen med avseende på egenfunktionerna för denna kärna: . $med)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi (s)ds$

Här, i den andra likheten, används det att, på grund av satsens tillstånd , i den fjärde likheten, som på grund av kärnans symmetri, . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}}(s)$

Jämställdhet kan skrivas om som . Av detta följer att talen är funktionens Fourierkoefficienter . I kraft av den välkända satsen för matematisk analys är en serie kvadrater av dessa koefficienter konvergent. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Antag tvärtom att serien konvergerar. Sedan, i kraft av Riesz-Fishers sats, finns det en unik funktion för vilken siffrorna är Fourierkoefficienter med avseende på systemet av funktioner , det vill säga likheter håller för alla . Denna funktion uppfyller integralekvationen , eftersom den i kraft av själva konstruktionen av funktionerna och har samma Fourier-koefficienter med avseende på hela systemet av kärnegenfunktioner . Funktionerna och är alltså identiska i måtten . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\phi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\phi (t)$ $med)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t,s)$ $med)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a,b]$

Litteratur

Krasnov M.L. Integral Ekvationer, Moskva, Nauka, 1975.