Routh-satsen

Rouths sats definierar förhållandet mellan arean av en given triangel och den av en triangel som bildas av tre parvis skärande cevianer . Satsen säger att om i en triangel punkterna , och ligger på sidorna , respektive , betecknar , och , det orienterade området av triangeln som bildas av cevianerna , och med avseende på arean av triangeln uttrycks av relationen $ABC$ $D$ $E$ $F$ $före Kristus$ $CA$ $AB$ ${\tfrac {CD}{BD}}$ $=x$ ${\tfrac {AE}{CE}}$ ${\displaystyle=y}$ ${\tfrac {BF}{AF}}$ ${\displaystyle=z}$ $AD$ $VARA$ $CF$ $ABC$

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)))

Satsen bevisades av E. J. Rouse på sidan 82 i hans Treatise on Analytical Statics with numerous examples 1896. I ett särskilt fall är satsen den välkända en-sjunde areastriangelsatsen . I fallet med medianen skära vid tyngdpunkten . $x=y=z=2$ $x=y=z=1$

Bevis

Låt oss ställa in arean av triangeln till . För en triangel och en linje , med hjälp av Menelaos sats , får vi: $ABC$ $ett$ $ABD$ $FRC$

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Då är alltså triangelns area ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ $ARC$

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}= {\frac {x}{zx+x+1}}

På samma sätt får vi: och således är arean av triangeln : $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1))$ $PQR$

{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB))

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1))).

Länkar

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199-203.
HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, s. 211, 219-220, 2:a upplagan, Wiley, New York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
Jay Warendorff. Rouths sats Wolfram -demonstrationsprojektet .
Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Rouths sats av korsprodukter - MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.