Usovs geodetiska teorem

Usovs geodetiska teorem ger en exakt uppskattning för variationen av rotationen av en geodetisk på grafen för en konvex Lipschitz-funktion.

Bevisat av Vladimir Usov. [1] Beviset använder Liebermans lemma .

Formulering

Låt det finnas en graf över en konvex Lipschitz-funktion och en geodetisk på . Då överstiger inte rotationsvariationen , där är Lipschitz-konstanten . $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $\gamma$ $\Sigma$ $\gamma$ $2\cdot L$ $L$ $f$

Anteckningar

Denna uppskattning uppnås till exempel för konen . Det är också möjligt att jämna funktionen runt noll och på så sätt få ett smidigt exempel med likhet. ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

Variationer och generaliseringar

Rotationsvariationen för den geodetiska subgrafen för en godtycklig -Lipschitz-funktion överstiger inte . [2] $L$ $2\cdot L$
Rotationsvariationen för en kortaste kurva på en sluten konvex yta begränsas av en universell konstant. [3]

Anteckningar

↑ V. V. Usov. "På längden av en sfärisk bild av en geodetisk på en konvex yta." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), sid. 233-236
↑ ID Berg. "En uppskattning av den totala krökningen av en geodetisk i euklidisk 3-rymd-med-gräns." Geom. Dedicata 13 (1982), sid. 1–6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Om den totala krökningen för att minimera geodetik på konvexa ytor // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , nr 1 . — S. 189–208 . (ryska)