Hardy-Ramanujans sats

Inom matematiken anger Hardy - Ramanujans sats [ 1] att tillväxthastigheten för antalet olika primtalsdelare av ett tal bestäms av funktionen av den itererade logaritmen - , och "spridningen" av antalet divisorer bestäms av kvadratroten av denna funktion. $\omega(n)$ $n$ $\log(\log(n))$

Sats

Låt en reell funktion vara sådan att , och låt vara antalet naturliga tal , för vilka följande olikhet gäller $f(n)$ $\lim _{n\to \infty }f(n)=\infty$ $g(x)$ $n<x$

|\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))))

eller mer traditionella

|\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2))+\varepsilon }

, var

\varepsilon >0

Sedan

\lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1

Ett enkelt bevis för detta teorem hittades av Pal Turan .

Generaliseringar och förstärkningar

Samma resultat gäller också för antalet av alla primtalsfaktorer i expansionen av talet . $n$

Denna sats är generaliserad av Erdős-Kac-satsen , som bevisar att fördelningen av olika primtalsdelare av naturliga tal är normala med "medelvärde" och "varians" lika . Det finns alltså ett visst samband mellan fördelningen av antalet primtalare och sannolikhetsteorins gränslagar - den centrala gränssatsen och lagen för den itererade logaritmen . $\log(\log(n))$

Anteckningar

↑ Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1917), The normal number of prime factors of a number , Quarterly Journal of Mathematics vol. 48: 76–92 , < http://www.imsc.res.in/~rao /ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm > Arkiverad 21 maj 2013 på Wayback Machine