Erdős-Kac teorem

Erdős-Kac-satsen  är ett påstående inom talteorin som kopplar samman fördelningen av antalet olika primtalsdelare av stora tal med formlerna för sannolikhetsteorins gränslagar . Detta resultat av talteorin , erhållet av Pal Erdős och Mark Katz 1940, säger att om  är antalet olika primtalsdelare av talet , då är gränsfördelningen av kvantiteten

är standardnormalfördelningen . Detta är en djup generalisering av Hardy-Ramanujans sats , som säger att "medelvärdet" är , och "standardavvikelsen" inte är mer än .

Sats

Mer formellt säger satsen att för alla fasta har vi :

,

var

.

Originalbevis

I det ursprungliga beviset [1] baseras påståendet om fördelningens normalitet i satsens första lemma på att funktionen är additiv och kan representeras som summan av primtal delbarhetsindikatorer . Vidare, utan att introducera begreppet en slumpvariabel, hävdar författarna att indikatortermerna är oberoende [2] . Sedan, utan att gå in på detaljer, hänvisar författarna till källan [3] , där fördelningens normalitet bevisas för summor av svagt beroende stokastiska variabler [4] . I slutet av beviset ber författarna om ursäkt för det "statistiska" [5] lemmats ytlighet.

1958 gav Alfred Renyi och Pal Turan ett mer exakt bevis.

Funktioner

Satsen handlar om fördelningen av deterministiska variabler , och inte om sannolikhetsfördelningen för en slumpvariabel . Men om ett slumptal väljs på ett tillräckligt stort segment av naturliga tal , kommer antalet olika primtalsdelare av detta tal att ha en ungefärlig normalfördelning med matematisk förväntan och varians lika med medelvärdet på intervallet. Eftersom denna funktion, som kallas den itererade logaritmen, växer långsamt, kommer en sådan medelvärdesbildning inte att leda till ett stort fel ens över mycket långa intervall. Typen av fördelning förbinder Erdős-Kac-satsen med den centrala gränssatsen .

Tillväxthastigheten för den itererade logaritmen

Den itererade logaritmen  är en extremt långsamt växande funktion. Särskilt tal upp till en miljard innehåller i genomsnitt tre primtal i nedbrytningen till primtal.

Till exempel 1 000 000 003 = 23 × 307 ×  141 623 .

n Antal tecken i n Genomsnittligt antal primtal i expansion medelavvikelse
1000 fyra 2 1.4
1 000 000 000 tio 3 1.7
1 000 000 000 000 000 000 000 000 25 fyra 2
10 65 66 5 2.2
10 9566 9567 tio 3.2
10 210 704 568 210 704 569 tjugo 4.5
10 10 22 10 22 +1 femtio 7.1
10 10 44 10 44 +1 100 tio
10 10 434 10 434 +1 1000 31.6

Om du fyller en kula av jordens storlek med sand behöver du cirka 10 33 sandkorn. Det skulle krävas 1093 sandkorn för att fylla den synliga delen av universum. 10 185 kvantsträngar får också plats där .

Tal av denna storlek - med 186 siffror - består i genomsnitt av endast 6 primtal i nedbrytningen.

Anteckningar

  1. ↑ Paul Erdős , Mark Kac. Den Gaussiska lagen om fel i teorin om teoretiska funktioner för additiv tal  // American Journal of Mathematics. - 1940. - T. 62 , nr 1/4 . - S. 738-742 . Arkiverad från originalet den 17 oktober 2014. (MR2, 42c; Zentralblatt 24, 102
  2. ↑ Om ett tal är delbart med , då är det inte delbart med ett primtal . Det betyder att om flera indikatorer tar värdet 1, så är de återstående indikatorerna lika med 0. Indikatorerna är svagt beroende av varandra och har dessutom olika fördelningar.
  3. ↑ Jfr . till exempel det första kapitlet i S. Bernsteins artikel, "Sur I'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, vol. 97, sid. 1-59.
  4. ↑ Termernas ömsesidiga beroende antas tydligen, men specificeras inte.
  5. ↑ Citat om författare.

Länkar