Sharkovskys order

Sharkovsky-ordningen är en ordning av naturliga tal associerade med studiet av periodiska punkter i dynamiska system på ett segment eller på en reell linje.

Historik

Alexander Nikolaevich Sharkovskii undersökte unimodala avbildningar, i synnerhet den kvadratiska kartläggningen , och fann 1964 att det i området för "kaos" på motsvarande bifurkationsdiagram finns så kallade "periodicitetsfönster" - smala intervall för parameterns värden , där det finns periodiska rörelser; de motsvarar övergångar i Sharkovsky-ordningen. I synnerhet när vi rör oss i den nedre raden mot pilarnas riktning från 1, går vi igenom en kaskad av fördubblingar av Feigenbaum- perioderna . $r$

Formulering

För positiva heltal och vi kommer att skriva om ett dynamiskt system på ett segment eller en rät linje som har en punkt med den minsta perioden a har en punkt med den minsta perioden b . $a$ $b$ $a till B$

Sharkovskys teorem säger att på detta sätt ges en fullständig ordning på mängden naturliga tal, arrangerad enligt följande:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3x2 → 5x2 → 7x2 → 9x2 → 11x2 → 13x2 → … → 3x2² → 5x2² → 7x2² → 9x2² → 11x2² → 13x2² → … ………………………………………… → 2 n → 2 n −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

Den översta raden innehåller alla udda tal i stigande ordning utom 1, den andra raden innehåller produkterna av udda tal (förutom 1) med 2, den tredje raden innehåller produkterna av udda tal med 2², och den k: te raden från toppen innehåller produkter av udda tal med . Slutligen representerar den sista (nedre) raden rena krafter av två. $2^{k-1}$

Period 3 ger kaos

I synnerhet är siffran 3 det största i denna ordnings betydelse, så närvaron av en punkt i period 3 innebär närvaron av en punkt med vilken punkt som helst. Ofta förkortas just det här fallet som "period 3 ger kaos." Fallet med en periodisk punkt i period 3 är det mest meningsfulla. Om det finns en punkt i period 3 kan man hävda att systemet är "kaotiskt" i andra bemärkelser; till exempel kommer den topologiska entropin i systemet att vara positiv.

Skiss av beviset

I det här fallet finns det olika punkter för vilka $a,b,c$

f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.

Det kan utan förlust av allmänhet antas att . $a<b<c$

Sedan för segment och $I_{0}=[a,b]$ $I_{1}=[b,c]$

f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.

Härifrån är det lätt att dra slutsatsen att för vilket ändligt ord som helst , som består av nollor och ettor och som inte innehåller två nollor i rad, finns ett sådant intervall som ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1))$ $I W$

f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j)),\quad j=1,\dots ,k-2,

f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.

Härifrån är det redan lätt att konstruera en periodisk punkt för vilken period som helst : det räcker att ta in alfabetet av nollor och ettor vilket periodiskt ord som helst av den minsta perioden utan två nollor i rad. För segmentet som motsvarar det , $k$ $\omega =(w),\ |w|=k$ $k$ $I W$

f^{k}(I_{w})\supset I_{w},

därför finns det i detta segment en periodisk punkt för motsvarande period. Slutligen, när det gäller symbolisk dynamik (för att dela , , komplement) är dess öde sekvensen , som har den minsta perioden, därför är det också den minsta perioden för den konstruerade punkten. $I_0$ $I_1$ $\omega$ $k$ $k$

Litteratur

Sharkovskiy AN Samexistens av cykler av kontinuerlig omvandling av en linje till sig själv // Ukrainian Mathematical Journal. - 1964. - T. 16 , nr 1 . - S. 61-71 .
Sharkovskii A. N., Kolyada S. F., Spivak A. G., Fedorenko V. V. Dynamics of one-dimensional mappings. - Kiev: Naukova Dumka, 1989. - 216 sid.
Danilov Yu. A. Föreläsningar om icke-linjär dynamik. Elementär introduktion. - M . : Postmarket, 2001. - 184 sid.

Länkar

Klimenko A. V. Sharkovskys teorem (del 1) + (del 2) på YouTube