Reciprocitetssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 november 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Reciprocitetssatsen är namnet på en uppsättning relaterade satser som beskriver den ömsesidiga förändringen i tids-harmoniska elektriska strömtätheter (källor) och uppkommande elektromagnetiska fält i Maxwells ekvationer för ett linjärt isotropt och icke -gyrotropiskt medium.

Förmodligen den mest kända och allmänna av sådana satser är Lorentz-lemmat (och dess specialfall, såsom Rayleigh-Carson-satsen ), bevisad av Hendrik Lorentz 1896, efter liknande resultat av Rayleigh och Helmholtz , tillämpad på ljudvågor och ljus, respektive. Enkelt uttryckt fastställer lemmat att förhållandet mellan växelströmmen och det elektriska fältet som genereras av det förblir oförändrat när man ändrar platserna för den punkt där strömmen flyter och den punkt där fältet observeras.

Lorenz lemma

Låt en ström med en densitet generera ett elektriskt fält och ett magnetfält , medan alla tre storheter är harmoniska funktioner av tid med en vinkelfrekvens , det vill säga deras tidsberoende beskrivs av en funktion . Låt någon annan övertonsström med samma vinkelfrekvens generera elektriska och magnetiska fält och . Enligt Lorentz-lemmat, om miljön uppfyller vissa naturliga villkor, gäller följande för varje yta som begränsar volymen : ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1))$ $\mathbf {H} _{1}$ $\omega$ $\exp(-i\omega t)$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$ $\omega$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2))$ $S$ $V$

\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \ mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .

Detta påstående kan också formuleras i differentiell form (enligt Gauss-Ostrogradskys sats ) [1] :

\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \ vänster[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].

Den givna generaliserade formen av uttalanden brukar förenklas för ett antal specialfall. I synnerhet antas det vanligtvis att och är lokaliserade (det vill säga att var och en av dessa funktioner har kompakt stöd ), och att amplituden för vågorna i oändligheten är noll. I det här fallet blir areaintegralen lika med noll och lemmat blir: ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$

\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2 }\,dV.

Detta resultat kallas ibland Rayleigh-Carsons sats . Ofta förenklas formeln ännu mer om vi tar hänsyn till punktdipolkällor . I detta fall försvinner integralen och resultatet är helt enkelt produkten av det elektriska fältet och motsvarande dipolmoment för strömmarna. För försumbara tunna ledningar får man i sin tur produkten av strömmen i en ledning multiplicerad med spänningen i den andra och vice versa.

I ett annat särskilt fall, när volymen helt innehåller båda lokaliserade källor (eller om den inte innehåller någon av källorna), blir lemmat: $V$ $V$

\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E } _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .

Se även

Litteratur

Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodynamics of continuous media. - M .: Gostekhizdat, 1957. - 532 sid. - (Teoretisk fysik).
Ronold W.P. King . Fundamental Electromagnetic Theory (Dover: New York, 1963). §IV.21.
C. Altman och K. Such . Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991).
H.A. Lorentz . "Poyntings teorem angående energin i det elektromagnetiska fältet och två allmänna förslag angående ljusets utbredning," (ej tillgänglig länk) Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 sid. 176 (1896).
RJ Potton . "Ömsesidighet i optik", Reports on Progress in Physics 67 , 717-754 (2004). (En recensionsartikel om detta ämnes historia.)
JR Carson . "A generalization of reciprocal theorem" Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Även JR Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid . 9 (4), 325-331 (1930).
Ja. N. Feld . "Om det kvadratiska lemmat i elektrodynamik" Sov. Phys-Dokl. 37 , 235-236 (1992).
C.-T. Tai . "Komplementära reciprocitetssatser i elektromagnetisk teori" IEEE Trans. Antenner prop. 40 (6), 675-681 (1992).
Wolfgang KH Panofsky och Melba Phillips. Klassisk elektricitet och magnetism. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Anteckningar

↑ Semenov N.A. Lemma av Lorentz. Reciprocitetssatser // Teknisk elektrodynamik . - Moskva: "Kommunikation", 1973. - S. 150. - 480 s.