Timosjenko balkböjningsteori

Timosjenkos teori om balkböjning utvecklades av Stepan Prokofievich Timosjenko i början av 1900-talet. [1] [2] Modellen tar hänsyn till skjuvdeformation och rotationsböjning , vilket gör den användbar för att beskriva beteendet hos tjocka balkar, sandwichpaneler och högfrekventa vibrationer hos balkar när våglängden på dessa vibrationer blir jämförbar med tjockleken på Strålen. Till skillnad från Euler-Bernoullis balkböjningsmodell leder Timosjenko-modellen till en fjärde ordningens ekvation, som också innehåller andra ordningens partiella derivator. Fysiskt beaktande av deformationsmekanismer minskar effektivt balkens styvhet och leder till en större avböjning under statisk belastning och till förutsägelse av lägre egenfrekvenser för en given uppsättning randvillkor. Den sista konsekvensen är mest märkbar vid höga frekvenser, eftersom svängningarnas våglängd blir kortare och avståndet mellan motsatt riktade skjuvkrafter minskar.

Om skjuvmodulen för balkmaterialet sätts lika med oändlighet (och följaktligen är strålen förbjuden att uppleva skjuvdeformationer) och om effekterna av tröghet på rotation försummas, reduceras Timosjenko-modellen till den vanliga teorin om balkböjning.

Timosjenko kvasistatisk stråle

I den statiska teorin för Timosjenko-strålen utan axiella effekter antas strålens förskjutning ges i följande form: där koordinaterna för en punkt på strålen är givna, är komponenterna i förskjutningsvektorn i tre koordinatriktningar , är normalens rotationsvinkel i förhållande till strålens mittyta, och är förskjutningen av mittytan i axelns riktning . $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x ,y)=w(x)$ $(x,y,z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

De initiala ekvationerna är följande par kopplade vanliga differentialekvationer :

{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}

I den statiska gränsen är Timosjenkos strålböjningsteorin ekvivalent med Euler-Bernoullis strålböjningsteorin i det fall då den sista termen kan försummas. Denna uppskattning är giltig när: var ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

$L$ - strållängd.
$A$ - strålens tvärsnittsarea.
$E$ är elasticitetsmodulen .
$G$ är skjuvmodulen .
$jag$ är det andra momentet av sektionsområdet.
$\kappa$ kallas Timosjenko skjuvkoefficient och beror på formen på balksektionen. För en rektangulär balk . $\kappa =5/6$
$q(x)$ - lastfördelning (kraft som appliceras per längdenhet).

Genom att kombinera dessa två ekvationer får vi i fallet med en enhetlig stråle med konstant tvärsnitt: ${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2))))$

Böjmomentet och skjuvkraften i en balk är relaterade till förskjutning och rotation . I fallet med en linjär Timoshenko elastisk balk har dessa begränsningar följande form: $M_{xx}$ ${\displaystyle Q_{x))$ $w$ $\varphi$

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x))\quad {\text{u))\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left( -\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.$

Gränsvillkor

De två ekvationerna som beskriver deformationen av Timosjenko-balken måste kompletteras med gränsvillkor (gränsvillkor) . Ett korrekt ställt problem kräver att fyra gränsvillkor ställs in. Typiskt är gränsvillkoren:

Dubbla stödbalkar : Förskjutningenär inställd på noll vid de två stödplatserna. Du måste också ange det böjningsmoment som appliceras på balken. Rotationoch skjuvkraftär inte specificerade. $w$ $M_{xx}$ $\varphi$ ${\displaystyle Q_{x))$
Styvt inspänd balk (utbärande) : Förskjutningoch rotationär nollställda vid den klämda änden av balken. Om en av balkens ändar är fri måste skjuvkraftenoch böjmomentet ställas in för denna ände. $w$ $\varphi$ ${\displaystyle Q_{x))$ $M_{xx}$

Exempel: En styvt fastspänd balk

För en styvt inspänd balk är ena änden fastspänd medan den andra är fri. Vi kommer att använda ett högerhänt koordinatsystem , där axelns riktning anses vara positiv i riktningen åt höger, och axelns riktning är positiv i riktningen uppåt. Efter de traditionella konventionerna kommer vi att anta att de positiva krafterna är riktade i positiv riktning av axlarna och , och de positiva böjmomenten verkar medurs. Vi antar också följande överensstämmelse om tecknen på de mekaniska spänningskomponenterna ( och ): positiva böjmoment trycker ihop balkmaterialet i botten (mindre koordinater ), positiva skjuvkrafter roterar balken moturs. $x$ $z$ $x$ $z$ $M_{xx}$ ${\displaystyle Q_{x))$ $z$

Antag att den klämda änden av balken har koordinaten och den fria änden - . Om en punktbelastning appliceras på den fria änden i axelns positiva riktning , ger jämviktsvillkoret för systemet med konvergerande balkkrafter oss $x=L$ $x=0$ $P$ $z$

-Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px

och

P+Q_{x}=0\implicerar Q_{x}=-P\,.

Därför får vi från uttrycken för böjmomentet och skjuvkraften

Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{u}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw} {dx}}\right)\,.

Genom att integrera den första ekvationen och tillämpa randvillkoret för , kommer vi fram till $\varphi=0$ $x=L$

\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.

Den andra ekvationen kan skrivas om som

{\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{ 2})\,.

Integrera och tillämpa gränsvillkoret vid vi skriver $w=0$ $x=L$

w(x)={\frac {P(Lx)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x ^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.

Den axiella spänningen ges då av uttrycket

\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac { Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.

Dynamics of the Timoshenko Beam

I Timosjenko balkböjningsteorin utan axiella effekter antas strålavböjningen ges i formen

u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~ u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

var är koordinaterna för strålpunkten, är komponenterna i avböjningsvektorn i tre koordinatriktningar, är normalens rotationsvinkel med avseende på strålens mittyta, och är avvikelsen för mittytan i riktningen av axeln . $(x,y,z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

Givet ovanstående antagande kan Timosjenkos strålböjningsteorin (med antagandet om oscillationer) beskrivas med ett par linjära partiella differentialekvationer : [3]

\rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x))\ vänster[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]

\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}={\frac {\partial }{\partial x))\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)

där de erforderliga kvantiteterna är (stråleavböjning) och (vinkelavböjning). Observera att, i motsats till teorin om Euler-Bernoulli balkböjning, är vinkelavböjningen en separat variabel och approximeras inte av lutningen på avböjningen. Förutom, $w(x,t)$ $\varphi (x,t)$

$\rho$ - densitet av strålmaterialet (inte linjär densitet ).
$A$ - strålens tvärsnittsarea.
$E$ är elasticitetsmodulen .
$G$ är skjuvmodulen .
$jag$ är det andra momentet av sektionsområdet .
$\kappa$ - kallas Timosjenko skjuvkoefficient, som beror på strålens form. För en rektangulär balksektion . $\kappa =5/6$
$q(x,t)$ - fördelad belastning (pålagd kraft per längdenhet).
$m:=\rho A$
$J:=\rho I$

Dessa parametrar är inte nödvändigtvis konstanta.

För en linjär elastisk isotropisk homogen stråle med konstant tvärsnitt kan dessa två ekvationer kombineras till följande ekvation [4] [5]

EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2} }}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}} +{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG }}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{ \partial x^{2}}}

Timosjenko-ekvationen förutsäger närvaron av en kritisk frekvens . För normala lägen kan Timosjenko-ekvationen lösas. Eftersom detta är en fjärde ordningens ekvation har den fyra oberoende lösningar, två oscillerande och två som snabbt avtar vid frekvenser under . För frekvenser ovan är alla lösningar oscillerande och som en konsekvens uppstår ett andra spektrum. [6] $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I))}.$ $f_{c}$ $f_{c}$

Axiella effekter

Om strålavböjningen ges som

u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z ,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

där det finns en ytterligare avvikelse i axelns riktning , så tar den grundläggande ekvationen för strålböjningen enligt Timosjenko formen $u_{0}$ $x$

{\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}&={\frac {\partial }{\partial x))\left[ \kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\ varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\ vänster(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end {Justerat}}

var är den externt applicerade axiella kraften. Varje yttre axiell kraft balanseras av töjningsspänning $J=\rho I$ $N(x,t)$

N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz

var är den axiella spänningen. Tjockleken på balken anses vara lika här . $\sigma_{xx}$ $2h$

Den kombinerade ekvationen för balkböjningen, med hänsyn till den axiella kraften, har formen

{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2} ))+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG))\right)~{\ cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4 }w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}} -{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2))))

Dämpning (dämpning)

Om vi förutom att ta hänsyn till axiella krafter även antar närvaron av en dämpningskraft som är proportionell mot hastigheten i formen

\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t))

då blir de kopplade grundekvationerna för böjningen av Timosjenko-balken lika med

m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t))={\ frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t) ,

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=N{\frac {\partial w}{\partial x))+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}} -\varphi\right),$ och den kombinerade ekvationen tar formen

{\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4))}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{ \partial x^{2))}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG} }\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2))}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG))~{\ cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4))}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG))~{\cfrac {\partial ^{3}w }{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ vänster(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t))\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t))=q+{\cfrac { J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\ partiell ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}

En sådan ansatz för dämpningskraften (liknande den viskösa kraften) är något orealistisk eftersom viskositeten leder till en frekvensoberoende amplitudberoende dämpningshastighet av strålvibrationerna, medan empiriska mätningar visar att dämpningen är svagt frekvensberoende och starkt. beroende på amplituden av strålavböjningen.

Skjuvfaktor

Det är inte så lätt att bestämma skiftkoefficienten, och det är också tvetydigt (det finns flera sätt att bestämma den). I allmänhet måste den uppfylla villkoret:

\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,

Skiftfaktorn beror på Poissons förhållande . Försök att få ett exakt uttryck för det har gjorts av många vetenskapsmän, inklusive Stepan Prokofievich Timosjenko , [7] Raymond D. Mindlin , [8] GR Cowper, [9] NG Stephen, [10] JR Hutchinson [11] och andra (se även härledningen Timosjenkos strålböjningsekvationer med hjälp av teorin om strålböjning baserad på den variations-asymptotiska metoden i boken av Khanh C. Le [12] som leder till olika skjuvningskoefficienter i statiska och dynamiska fall). I ingenjörspraktik är Timosjenkos uttryck [13] ganska tillräckliga i de flesta fall. 1975 publicerade Kaneko [14] en mycket bra recension om skjuvfaktorn. På senare tid har nya experimentella data visat att skiftfaktorn är underskattad. [15] [16]

Enligt Cowpers arbete från 1966 för en solid rektangulär balksektion

\kappa ={\cfrac {10(1+\nu)}{12+11\nu }}

och för en solid rund balk

\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}

Se även

Litteratur

↑ Timosjenko, SP, 1921, Om korrigeringsfaktorn för skjuvning av differentialekvationen för tvärgående vibrationer av stänger med enhetligt tvärsnitt , Philosophical Magazine, sid. 744.
↑ Timosjenko, SP, 1922, Om de tvärgående vibrationerna hos stänger med enhetligt tvärsnitt , Philosophical Magazine, sid. 125.
↑ Timosjenkos strålekvationer . Hämtad 5 januari 2019. Arkiverad från originalet 15 oktober 2007. (obestämd)
↑ Thomson, WT, 1981, Theory of Vibration with Applications , andra upplagan. Prentice Hall, New Jersey.
↑ Rosinger, HE och Ritchie, IG, 1977, Om Timosjenkos korrigering för skjuvning i vibrerande isotropiska strålar , J. Phys. D:Appl. Phys., vol. 10, sid. 1461-1466.
↑ "Experimentell studie av Timoshenko beam theory predictions", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, RA Méndez-Sánchez, G. Monsivais och A. Morales, Journal of Sound and Vibration, volym 331 , nummer 26, 17 december 2012, s. 5732-5744.
↑ Timosjenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Julius Springer.
↑ Mindlin, R.D., Deresiewicz, H., 1953, Timosjenkos skjuvkoefficient för böjningsvibrationer av strålar , teknisk rapport nr . 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, NY
↑ Cowper, GR, 1966, "The Shear Coefficient in Timoshenkos Beam Theory", J. Appl. Mech., vol. 33, nr 2, sid. 335-340.
↑ Stephen, NG, 1980. "Timoshenkos skjuvningskoefficient från en stråle utsatt för gravitationsbelastning", Journal of Applied Mechanics, Vol. 47, nr. 1, sid. 121-127.
↑ Hutchinson, JR, 1981, "Transversal vibration of beams, exact versus approximate solutions", Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, nr. 12, sid. 923-928.
↑ Le, Khanh C., 1999, Vibrationer av skal och stavar , Springer.
↑ Stephen Timosjenko, James M. Gere. Mekanik av material. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. sid 207.
↑ Kaneko, T., 1975, "Om Timosjenkos korrigering för skjuvning i vibrerande strålar", J. Phys. D:Appl. Phys., vol. 8, sid. 1927-1936.
↑ "Experimentell kontroll av noggrannheten i Timosjenkos strålteori", RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508-512.
↑ "Om noggrannheten i Timoshenko Beam Theory Above the Critical Frequency: Best Shear Coefficient", JA Franco-Villafañe och RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, januari 2016, s. 1-4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.