Dickey-Fuller test

Dickey-Fuller-testet (DF-test, Dickey-Fuller-testet) är en teknik som används i tillämpad statistik och ekonometri för att analysera tidsserier för att testa för stationaritet. Det är ett av testerna för enhetsrötter ( Unit root test ). Det föreslogs 1979 av David Dickey och Wayne Fuller [1] .

För sitt bidrag till studiet av kointegrerade processer med det föreslagna Dickey-Fuller-testet för stationaritet, fick Clive Granger 2003 Nobelpriset i ekonomi . [2]

Konceptet med en enhetsrot

Tidsserien har en enhetsrot, eller så är integrationsordningen densamma om dess första skillnader bildar en stationär serie. Detta villkor skrivs som om den första skillnadsserien är stationär . $y_{t}\thicksim I(1)$ $\triangle y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$ $\triangle y_{t}\thicksim I(0)$

Detta test kontrollerar värdet på koefficienten i den första ordningens autoregressiva ekvationen AR(1) $a$

y_{t}=a\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

var är tidsserien och är felet. $y_{t}$ $\varepsilon$

Om , då processen har en enhetsrot, i detta fall är serien inte stationär, det är en integrerad tidsserie av första ordningen - . Om , då är serien stationär - . $a=1$ $y_{t}$ $jag (1)$ $|a|<1$ $jag (0)$

För finansiella och ekonomiska processer är värdet inte typiskt, eftersom processen i detta fall är "explosiv". Förekomsten av sådana processer är osannolik, eftersom den finansiella och ekonomiska miljön är ganska trög, vilket inte tillåter att man accepterar oändligt stora värden under korta tidsperioder. $|a|>1$

Kärnan i DF-testet

Ovanstående autoregressiva ekvation AR(1) kan skrivas om som: [3]

\triangle y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

där , och är första ordningens differensoperator . $b=a-1$ $\triangel$ $\triangle y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$

Att testa hypotesen om en enhetsrot i denna representation innebär därför att testa nollhypotesen att koefficienten är lika med noll . Eftersom fallet med "explosiva" processer är uteslutna är testet ensidigt, det vill säga den alternativa hypotesen är hypotesen att koefficienten är mindre än noll. Teststatistiken (DF-statistik) är en vanlig statistik för att testa signifikansen av linjära regressionskoefficienter . Men fördelningen av denna statistik skiljer sig från den klassiska fördelningen av -statistik ( Students t- fördelning eller asymptotisk normalfördelning). Fördelningen av DF-statistiken uttrycks i termer av Wienerprocessen och kallas Dickey-Fuller-fördelningen. $b$ $b$ $t$ $t$

Det finns tre versioner av testet (testregressioner):

Utan konstant och trend

\triangle y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Med en konstant men ingen trend:

\triangle y_{t}=b_{0}+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Med konstant och linjär trend:

\triangle y_{t}=b_{0}+b_{1}\cdot t+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

För var och en av de tre testregressionerna finns det kritiska värden för DF - statistik, som hämtas från en speciell Dickey-Fuller (McKinnon) tabell. Om värdet på statistiken ligger till vänster om det kritiska värdet (kritiska värden är negativa) på en given signifikansnivå, så förkastas nollhypotesen om en enhetsrot och processen anses vara stationär (i denna mening testa). Annars förkastas inte hypotesen och processen kan innehålla enhetsrötter, det vill säga vara en icke-stationär (integrerad) tidsserie.

Kritiska värden för Dickey-Fuller-statistiken

Kritiska värden för Dickey-Fuller-statistik på 1% signifikansnivå

Provstorlek	AR-modell	AR-modell med en konstant	AR-modell med konstant och trend
25	-2,66	-3,75	-4,38
femtio	-2,62	-3,58	-4.15
100	-2,60	-3,51	-4.04
$\infty$	-2,58	-3,43	-3,96

Som jämförelse är det kritiska värdet för studentens fördelning för alla modeller på stora urvalsstorlekar 2,33, på små urval - 2,5. McKinnon härledde också ungefärliga formler för att uppskatta kritiska värden.

Augmented Dickey-Fuller Test (ADF)

Om fördröjningar av de första skillnaderna i tidsserien läggs till testregressionerna, kommer fördelningen av DF-statistiken (och därmed de kritiska värdena) inte att förändras. Ett sådant test kallas det utökade Dickey-Fuller-testet (Augmented DF, ADF).

Behovet av att inkludera fördröjningarna för de första skillnaderna beror på det faktum att processen kan vara en autoregression inte av den första, utan av en högre ordning. Betrakta exemplet med AR(2)-modellen:

y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{2}y_{{t-2}}+\varepsilon _{t}.

Denna modell kan representeras som:

\triangel y_{t}=(a_{1}+a_{2}-1)y_{{t-1}}-a_{2}\triangel y_{{t-1}}+\varepsilon _{t} .

Om tidsserien har en enhetsrot, så är de första skillnaderna per definition stationära. Och eftersom , enligt antagande, är det icke-stationärt, så om koefficienten för det inte är lika med noll, är ekvationen inkonsekvent. Sålunda, från antagandet om första ordningens integration för en sådan serie, följer att . För att kontrollera förekomsten av enhetsrötter i denna modell bör ett standard DF-test utföras för koefficienten vid , och eftersläpningen av den första skillnaden för den beroende variabeln bör läggas till testregressionen. $y_{{t-1}}$ $a_{1}+a_{2}-1=0$ $y_{{t-1}}$

Utöver det angivna skälet finns det också en annan modellfel som kanske inte är vitt brus , utan är en stationär ARMA-process , så du bör leta efter en enhetsrot för flera fördröjningar. Det bör dock beaktas att en ökning av antalet fördröjningar leder till en minskning av testets kraft. Vanligtvis begränsad till tre eller fyra fördröjningar.

Notera

Dickey-Fuller-testet, liksom många andra tester, kontrollerar förekomsten av endast en enhetsrot. En process kan dock teoretiskt ha flera enhetsrötter. I det här fallet kan testet vara felaktigt. Eftersom det vanligtvis antas att mer än tre enhetsrötter knappast kan förekomma i realekonomiska tidsserier är det teoretiskt motiverat att först av allt testa seriernas andra skillnader. Om enhetsrothypotesen för denna serie förkastas, testas enhetsroten i de första skillnaderna. Om hypotesen inte förkastas i detta skede, har den ursprungliga serien två enhetsrötter. Om den avvisas, kontrolleras enhetsroten i själva tidsserien, enligt beskrivningen ovan. I praktiken görs allt ofta i omvänd ordning, vilket inte är helt korrekt. Korrekta slutsatser kräver testresultat för den andra och första skillnaden tillsammans med själva tidsserien.

Se även

Philips-Parron test
Laybourne test

Anteckningar

↑ Dickey DA och Fuller WA Distribution av estimatorerna för autoregressiva tidsserier med en enhetsrot // Journal of the American Statistical Association . - 74. - 1979. - sid. 427--431.
↑ Nobelpriset i ekonomi 2003 . Hämtad 20 september 2010. Arkiverad från originalet 19 oktober 2010. (obestämd)
↑ Utbildningsmaterial . Hämtad 20 september 2010. Arkiverad från originalet 27 maj 2016. (obestämd)

Litteratur

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Ekonometri. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 . .