Teknisk uppsättning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Teknologisk uppsättning är ett begrepp som används inom mikroekonomi som formaliserar uppsättningen av alla tekniskt genomförbara vektorer av nettoresultat.

Definition

Låt det finnas välsignelser i ekonomin. I produktionsprocessen konsumeras varor från dem. Låt oss beteckna vektorn för dessa fördelar (kostnader) (dimensionen av vektorn ). Andra varor produceras i produktionsprocessen (dimensionen av vektorn är ). Låt oss beteckna vektorn för dessa varor som . Då kallas vektorn (dimension - ) för nettoutgångsvektorn . Uppsättningen av alla tekniskt genomförbara nettoeffektvektorer utgör den tekniska uppsättningen . Faktum är att detta är en delmängd av utrymmet . $N$ $n$ $x$ $n$ $m=Nn$ $m$ $y$ $z=(-x,y)$ $N$ $R^{N}$

Egenskaper

Icke-tomhet : Teknikuppsättningen är inte tom. Icke-tomhet betyder produktionens grundläggande möjlighet.
Tillåtlighet för inaktivitet : nollvektorn tillhör den tekniska uppsättningen. Denna formella egenskap innebär att noll produktion till noll kostnad är acceptabel.
Stängning : Teknikuppsättningen innehåller sin egen gräns och gränsen för varje sekvens av tekniskt genomförbara nettoutgångsvektorer tillhör också teknologiuppsättningen.
Utgiftsfrihet : om en given vektor tillhör den tekniska uppsättningen, så tillhör också vilken vektor som helst den . Detta innebär att formellt samma volym produktion kan produceras till en högre kostnad. $z$ $z'\leqslant z$
Frånvaro av ett "överflödshorn" : av de icke-negativa nettoutgångsvektorerna är det bara nollvektorn som hör till den tekniska uppsättningen. Detta innebär att kostnader som inte är noll krävs för att producera en produkt i en positiv kvantitet.
Irreversibilitet : för vilken giltig vektor som helst , den motsatta vektorn tillhör inte den tekniska uppsättningen. Det vill säga, det är omöjligt att producera resurser från produktionen i samma kvantitet som de används för att producera denna produkt. $z$ $-z$
Additivitet : Summan av två giltiga vektorer är också en giltig vektor. Det vill säga en kombination av teknologier är tillåten.
Egenskaper förknippade med produktionsåtergång till skala :
- Icke-ökande skalåtergång : För alla , om z tillhör teknikuppsättningen, så tillhör den också teknologiuppsättningen. $\lambda \in (0;1)$ $\lambda z$
- Icke-minskande skalåtergång : För alla om z tillhör teknikuppsättningen, så tillhör den också teknologiuppsättningen. $\lambda >1$ $\lambda z$
- Konstant återgång till skalan : samtidig uppfyllelse av de två föregående egenskaperna, det vill säga för alla positiva om tillhör teknikuppsättningen, tillhör då också teknologiuppsättningen. Egenskapen med konstant avkastning innebär att den tekniska uppsättningen är en kon. $\lambda$ $z$ $\lambda z$

8. Konvexitet : för två godtagbara vektorer är alla vektorer också tillåtna , där . Egenskapen konvexitet betyder förmågan att "mixa" teknologier. I synnerhet är det tillfredsställt om den tekniska uppsättningen har egenskapen additivitet och icke-ökande skalavkastning. Dessutom är den tekniska uppsättningen i detta fall en konvex kon. $z_{1},z_{2}$ ${\displaystyle \alpha z_{1}+(1-\alpha )z_{2))$ $0<\alpha \leqslant 1$

Effektiv teknologisk gräns

En tillåten teknik kallas effektiv om det inte finns någon annan tillåten teknik som skiljer sig från den . Uppsättningen av effektiva teknologier utgör den effektiva gränsen för den tekniska uppsättningen. $z$ $z'\geqslant z$

Om villkoret för fria utgifter och stängning av den tekniska uppsättningen är uppfyllda, är det omöjligt att oändligt öka produktionen av en vara utan att minska produktionen från andra. I det här fallet, för varje tillåten teknik , finns det en effektiv teknik . I det här fallet, istället för hela den tekniska uppsättningen, kan endast dess effektiva gräns användas. Vanligtvis kan den effektiva gränsen ges av någon produktionsfunktion. $z$ $z'\geqslant z$

Produktionsfunktion

Betrakta enproduktsteknologier , där är en vektor av dimensioner och är en kostnadsvektor för dimensioner . Betrakta en uppsättning som inkluderar alla möjliga kostnadsvektorer , så att för varje existerar , så att nettoutgångsvektorerna tillhör den tekniska uppsättningen. $(-x,y)$ $y$ $m=1$ $x$ $n$ $X$ $x$ $x$ $y$ $(-x,y)$

En numerisk funktion på kallas en produktionsfunktion om värdet för en given kostnadsvektor bestämmer det maximala värdet för den tillåtna utmatningen ( så att nettoeffektvektorn (-x, y) hör till teknikuppsättningen). $f(x)$ $X$ $x$ $f(x)$ $y$

Vilken punkt som helst av den effektiva gränsen för den tekniska uppsättningen kan representeras som , och det omvända är sant om det är en ökande funktion (i detta fall den effektiva gränsekvationen). Om teknikuppsättningen har frihet att spendera egendom och kan beskrivas av en produktionsfunktion, så bestäms teknikuppsättningen utifrån ojämlikheten . $(-x,f(x))$ $f(x)$ $y=f(x)$ $y\leqslant f(x)$

För att den tekniska uppsättningen ska kunna specificeras med hjälp av produktionsfunktionen är det tillräckligt att för varje uppsättning genomförbara utgångar till givna kostnader , är avgränsad och stängd. I synnerhet är detta villkor uppfyllt om den tekniska uppsättningen uppfyller egenskaperna för stängning, icke-ökande skalåtergång och frånvaron av ett ymnighetshorn. $x$ $F(x)$ $x$

Om den tekniska uppsättningen är konvex, är produktionsfunktionen konkav och kontinuerlig på insidan av uppsättningen . Om villkoret för utgiftsfrihet är uppfyllt, är det en icke-minskande funktion (i detta fall följer också den tekniska uppsättningens konvexitet från funktionens konkavitet). Slutligen, om både villkoret om avsaknad av ett ymnighetshorn och tillåtligheten av inaktivitet är uppfyllda samtidigt, då . $X$ $f(x)$ $f(0)=0$

Om produktionsfunktionen är differentierbar kan den lokala skalelasticiteten definieras på följande ekvivalenta sätt:

$e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda}{f(x)))|_{\lambda =1}= {\frac {f'(x)x}{f(x)}}$

var är gradientvektorn för produktionsfunktionen. $f'(x)$

Efter att ha bestämt skalelasticiteten så kan det visas att om den tekniska uppsättningen har egenskapen konstant avkastning till skalan, då , om minskande avkastning till skalan, då , om ökande avkastning, då . $e(x)=1$ $e(x)\leqslant 1$ $e(x)\geqslant 1$

Producentens utmaning

Om en prisvektor anges är produkten producentens vinst. Producentens uppgift är att hitta en sådan vektor som skulle maximera vinsten för en given prisvektor. Uppsättningen av priser på varor för vilka detta problem har en lösning betecknas med . Det kan visas att för en icke-tom, sluten teknikuppsättning med icke-ökande skalavkastning, har producentens problem en lösning på uppsättningen priser som ger negativ vinst i de så kallade recessiva riktningarna (detta är teknologiuppsättningen vektorer, för vilka, för alla icke-negativa, vektorerna också tillhör teknikuppsättningen). I synnerhet om uppsättningen av recessiva riktningar sammanfaller med , så finns lösningen för alla positiva priser. $sid$ $pz$ $z$ $P$ $P$ $z$ $\lambda$ $\lambda z$ ${\displaystyle R_{-}^{N))$

Vinstfunktionen definieras som , där finns lösningen på producentens problem till givna priser (detta är den så kallade utbudsfunktionen, möjligen flervärdig). Vinstfunktionen är positivt homogen (av första graden), det vill säga och kontinuerlig på insidan . Om den tekniska uppsättningen är strikt konvex, är vinstfunktionen också kontinuerligt differentierbar. Om den tekniska uppsättningen är stängd är vinstfunktionen konvex på alla konvexa delmängder av tillåtna priser . $\pi (p)$ $pz(p)$ $z(p)$ $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ $P$ $P$

Meningens funktion (mappning) är positivt homogen med nollgrad. Om teknikuppsättningen är strikt konvex, är försörjningsfunktionen enkelvärderad på P och kontinuerlig på insidan . Om en utbudsfunktion är två gånger differentierbar, är Jacobi-matrisen för denna funktion symmetrisk och icke-negativ definitiv. $z(p)$ $P$

Om den tekniska uppsättningen representeras av en produktionsfunktion, definieras vinsten som , där är vektorn av priser för produktionsfaktorer , i detta fall priset på produktionen. Sedan för varje intern lösning (det vill säga tillhör det inre ) av producentens problem, är marginalprodukten för varje faktor lika med dess relativa pris, det vill säga i vektorform . $pf(x)-wx$ $w$ $sid$ $X$ $f'(x)=w/p$

Om vinstfunktionen ges , som är två gånger kontinuerligt differentierbar, konvex och positivt homogen (av första graden) funktion, då är det möjligt att återställa den tekniska uppsättningen som en uppsättning innehållande, för en icke-negativ prisvektor, vektorerna för nettoresultat som tillfredsställer ojämlikheten . Det kan också visas att om utbudsfunktionen är positivt homogen av grad noll och matrisen av dess första derivator är kontinuerlig, symmetrisk och icke-negativ definitiv, så uppfyller motsvarande vinstfunktion ovanstående krav (det omvända är också sant) . $\pi (p)$ $sid$ $z$ $pz\leqslant \pi (p)$

Teknisk uppsättning

Definition

Egenskaper

Effektiv teknologisk gräns

Produktionsfunktion

Producentens utmaning

Se även