Exakt Euler-sekvens

Den exakta Eulersekvensen är en viss exakt sekvens av skivor på ett n - dimensionellt projektivt utrymme över en ring . Den visar att den cotangenta bunten av ett projektivt utrymme är stabilt isomorf till ( n + 1)-faldig summa av tautologiska buntar (se Serre twist sheaf ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Formulering

För en kommutativ ring A finns det en exakt sekvens av skivor

0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0.

För att bevisa det räcker det med att definiera en homomorfism , där och till styrkan av 1, surjektiv i potenser och kontrollera att lokalt på ( n + 1) standard affina diagram, dess kärna är isomorf till modulen för relativa differentialer . [ett] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Geometrisk tolkning

Vi antar att ringen A är ett fält k .

Den exakta sekvensen ovan motsvarar sekvensen

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

där den sista termen som inte är noll är tangentpennan.

Betrakta ett V - ( n + 1)-dimensionellt vektorutrymme över k och förklara den exakta sekvensen

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Denna sekvens är lättast att förstå genom att tolka mellantermen som en bunt av 1-homogena vektorfält på ett vektorrum V . Det finns en anmärkningsvärd del av denna bunt - Euler-vektorfältet - som definieras tautologiskt genom att jämföra en punkt i vektorrymden med vektorn som motsvarar denna punkt, överförd till tangentrymden vid denna punkt.

Detta vektorfält är radiellt i den meningen att det försvinner på 0-homogena funktioner, det vill säga funktioner som är invarianta under homoteten centrerad på noll.

En funktion (definierad på någon öppen uppsättning) på inducerar en 0-homogen funktion på V (återigen delvis definierad). Vi får 1-homogena vektorfält genom att multiplicera Euler-vektorfältet med sådana funktioner. Detta definierar den första displayen. $\mathbb {P} (V)$

Den andra mappningen är kopplad till begreppet avledningar, vilket är ekvivalent med begreppet vektorfält. Kom ihåg att ett vektorfält på en öppen delmängd U av ett projektivt utrymme kan definieras som en härledning av funktioner definierade i denna öppna uppsättning. Med tanke på förbilden i V , är detta ekvivalent med att härleda på förbilden U som bevarar 0-homogena funktioner. Alla vektorfält på kan erhållas på detta sätt, och kärnan i den resulterande mappningen består exakt av radiella vektorfält. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Den kanoniska linjebunten av ett projektivt utrymme

När vi övergår till högre yttre makter finner vi att den kanoniska bunten av ett projektivt utrymme har formen

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

I synnerhet är projektiva utrymmen Fano-varianter eftersom den kanoniska linjebunten är anti- ample .

Anteckningar

↑ Hartshorne, 1981 , Teorem II.8.13.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.