Tridiagonal matris

En tridiagonal matris eller Jacobi-matris [ 1] är en bandmatris av följande form:

{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},

där det på alla andra platser, förutom huvuddiagonalen och två intill den, finns nollor.

System av linjära algebraiska ekvationer med sådana matriser påträffas vid lösning av många problem inom matematisk fysik. Randvillkoren och , som är hämtade från problemets sammanhang, definierar den första och sista raden. Så gränsvillkoret för det första slaget kommer att definiera den första raden i formen , , och gränsvillkoret för det andra slaget kommer att motsvara värdena , . $x_{1}$ $x_{n}$ $F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=1$ $b_{1}=0$ ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=-1$ $b_{1}=1$

Determinant

Determinanten för en tridiagonal matris ges av följande återkommande formel [2] . Låt oss sätta

f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\ &&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}

för alla n > 1 och f 1 = a 1 . Sedan

f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},

där f 0 = 1 och f -1 = 0.

Svepmetod

För att lösa system av linjära ekvationer av formen Ax = F , där A är en tridiagonal matris, används vanligtvis svepmetoden .

Se även

Anteckningar

↑ Prasolov V.V. Problem och satser för linjär algebra . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 . Arkiverad 9 januari 2015 på Wayback Machine
↑ El-Mikkawy, MEA På inversen av en allmän tridiagonal matris (obestämd) // Tillämpad matematik och beräkning. - 2004. - T. 150 , nr 3 . - S. 669-679 . - doi : 10.1016/S0096-3003(03)00298-4 .