Tunnelbana genom en rektangulär barriär

Att tunnla genom en rektangulär barriär är en kvantmekanisk tunnlingseffekt i en situation där den potentiella barriären för en partikel har en rektangulär form, nämligen konst i tunnelområdet . $U(x)$ $U(x)=V=\,$ $0<x<a$

Det antas vanligtvis att partikelns totala energi på båda sidor om barriären endast är associerad med rörelse i riktningen (ingen rörelse i det vinkelräta planet ) och att partikelns massa är oförändrad. $U=0$ $E$ $x$ $yz$ $m$

Typiska värden för parametrarna är: - i storleksordningen en elektronvolt , - flera nanometer , och tunnelpartiklarna är elementära partiklar (elektroner, etc.). $V$ $a$

I analysen av tunneldrivning är problemet att beräkna sannolikheten för att passera en barriär i en enda kollision av en partikel med den. Den rektangulära barriären uppstår som den enklaste approximationen för riktiga barriärer, vilket gör det möjligt att få en enkel analytisk lösning. $T(E)$

Lösning

En partikel som beskrivs av en plan våg faller på barriärgränsen till höger och reflekteras delvis med en amplitud En del av vågen passerar genom barriären med en sannolikhetsamplitud Uttryck för en partikels vågfunktion i tre områden i den endimensionella fall: $r.$ $t.$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);

\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);

\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).

Det antas här att vågvektorerna är:

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))),

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(VE)}{\hbar ^{2))))

Eftersom själva vågfunktionerna vid barriärgränserna och deras första derivator inte får ha diskontinuiteter, används detta villkor för att matcha vågfunktionerna och deras derivator vid gränserna och fyra ekvationer med fyra okända erhålls:

1+r=A+B

ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B

{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a))

k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.

Deras lösningar:

A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1 }}}\right)=2

A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{ k_{2}}}\right)

B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_ {2}}}\right)

te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{ 2}}{k_{1}}}\höger)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\höger)\vänster (1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{ k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\ frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)))

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2} }}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},

varifrån följer uttrycket för transmissionskoefficienten:

T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1} {4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^ {2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}} {4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.

Notera. I detta sammanhang kan vi överväga situationen för en deltaliknande potential , beskriven av Dirac deltafunktionen , Detta är begränsningsfallet för en rektangulär barriär som tenderar till en oändligt hög och samtidigt oändligt smal potential (och så att produkt där är en viss konstant). Sedan visar det sig $U(x)=g\delta(x).$ $Va=g,$ $g$ $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E)))^{-1}.$

Om partikelns energi ligger över barriären, då:

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(EV)}{\hbar ^{2))))),

och få ett annat resultat:

T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2 }k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.

Vid , skiljer sig kvantöverföringskoefficienten i allmänhet från enhet, i motsats till det klassiska fallet. Icke-monotoniciteter äger rum i denna energiregion $E>V$ $T(E).$

Litteratur

Griffiths, David J. Introduktion till kvantmekanik (2:a upplagan) (engelska) . — Prentice Hall , 2004.