Dirac ekvation för grafen

Kvasipartiklar i grafen har en linjär spridningslag nära Dirac-punkter och deras egenskaper beskrivs fullständigt av Dirac-ekvationen [1] . Själva Dirac-punkterna är vid kanterna av Brillouin-zonen , där elektronerna har en stor vågvektor. Om vi försummar överföringsprocesserna mellan dalar, så påverkar denna stora vektor inte transporten på något sätt i lågenergiapproximationen, så vågvektorn som förekommer i Dirac-ekvationen räknas från Dirac-punkterna och Dirac-ekvationen skrivs för olika dalar separat.

Slutsats

Bandstruktur

Om vi bara tar hänsyn till bidraget från närmaste grannar till bildandet av energiband , så tar Hamiltonianen i den starkt bindande approximationen för ett hexagonalt kristallgitter formen

H=-t\summa _{{i\in \Lambda _{A}}}\summa _{{j=1}}^{3}a^{{\dolk }}({\textbf {r}} _{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{{i\in \Lambda _{B}}}\ summa _{{j=1}}^{3}b^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\ textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)

var är överlappningsintegralen mellan de närmaste grannarnas vågfunktioner, vilket också bestämmer sannolikheten för en övergång (”hopp”) mellan angränsande atomer (atomer från olika subgitter), skapelseoperatorerna och operatorerna som verkar på kristallens triangulära subgitter och respektive, och är förintelseoperatörerna . De uppfyller de vanliga antikommutationsförhållandena för fermioner : $t$ $a^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{i})$ $b^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{i})$ $\Lambda _{A}$ $\Lambda _{B}$ $a({\textbf {r}}_{i})$ $b({\textbf {r}}_{i})$

[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_{{+ }}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_ {{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)

De sex vektorerna och pekar på de närmaste noderna från den valda centrala atomen och ges av relationerna ${\textbf {u}}_{i}$ ${\textbf {v}}_{i}$

{\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\ frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\qquad (1.3)

{\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d, {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right).\qquad (1.4)

Fouriertransformation av skapelse- och förintelseoperatörer

a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^ {{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_ {i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}} {\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)

där integration över vågvektorer utförs från den första Brillouin-zonen , tillåter oss att skriva Hamiltonian i formen

H=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dolk }} ({\textbf {k))){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)

där följande beteckningar accepteras:

{\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf { k)))\right)^{{T)),\,{\tilde {\psi }}^{{\dolk }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a} }^{{\dolk }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\dolk }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)

och

{\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{ \textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_ {j}}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)

Uttryck (1.6) kan erhållas genom att ersätta (1.5) med (1.1). Tänk på summan

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dolk }}({\textbf {r}}_{i} )b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)

som med hjälp av relationer (1.5) kan skrivas som

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k }{(2\pi )^{2))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\dolk }}({ \textbf {k)))\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{ i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}})}}{\tilde {b}}( { \textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)

eller

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dolk }}({\textbf {k}} )\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\summa _{{i\in \Lambda _{A))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r }}_{i}}}\summa _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j ))}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)

Använda förhållandet

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^ {{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1.12)

vi får efter integration över uttrycket ${\textbf {k}}^{{'}}$

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dolk }}({\textbf {k}} )\summa _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\ textbf {k}}).\qquad (1.13)

En liknande omvandling av den andra summan i Hamiltonian (1.1) leder till det önskade resultatet (1.6).

Hamiltonianens egenvärden (1,8) tar värdena

E=\pm t{\sqrt {\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}} }}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=

\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\ höger)\left(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right))) =\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\ frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]} },\qquad (1.14)

som bestämmer bandstrukturen för grafen. [2]

Lågenergiapproximation

Zoner (1.14) med positiv energi ( elektroner ) och negativ energi ( hål ) berör sex punkter, kallade Dirac-punkter, eftersom energispektrat nära dem får ett linjärt beroende av vågvektorn. Koordinaterna för dessa punkter är

\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\ höger),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left (-{\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\höger),\,\left(-{\frac {2 \pi }{3d)),{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)

Två oberoende dalar kan väljas så att valensbandens hörn kommer att vara vid Dirac-punkterna med koordinater

{\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2 )

Betrakta det off-diagonala elementet i Hamiltonian (1.8). Låt oss expandera den nära Dirac-punkterna (2.2) i termer av den lilla parametern d ${\tilde {H}}_{{12}}$

\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K} }^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i \kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left( \pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)

För , utvidgningen beräknas på liknande sätt, och som ett resultat kan vi skriva Hamiltonian för kvasipartiklar nära Dirac-punkterna i formen ${\tilde {H}}_{{21}}$

\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)

var är fermihastigheten och $v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$

\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\, \alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2,5)

Här och är Pauli matriser . $\sigma ^{1}$ $\sigma ^{2}$

Om vi nu går över till koordinatrepresentationen genom att göra Fouriertransformen av Hamiltonian (2.4), så kommer vi fram till Hamiltonian i Dirac-ekvationen för kvasipartiklar i grafen

H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)

Lösningen av Dirac-ekvationen för grafen kommer att vara en fyrkomponentskolumn av formuläret $H\psi =E\psi$

\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^ {{-}})^{{T}},\qquad (2.7)

där indexen och motsvarar två subgitter av kristallen, och tecknen "+" och "-" betecknar icke-ekvivalenta Dirac-punkter i k-rymden. [2] $A$ $B$

Godtycklig rotation av koordinatsystemet

Eftersom spridningslagen inte i lågenergiapproximationen bör bero på orienteringen av kristallgittret i förhållande till koordinatsystemet, och Dirac-ekvationen för grafen inte har denna egenskap, uppstår frågan om den allmänna formen av Dirac-ekvationen när koordinatsystemet roteras. Det är tydligt att den enda skillnaden mellan Dirac-ekvationerna i ett givet koordinatsystem och ett koordinatsystem som roteras med en vinkel , förutsatt att spridningslagen bevaras, är tillägget av fasfaktorer. Beräkningar leder till en Hamiltonian för fria partiklar av formen [3] $\alfa$

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\partial _{x}\pm \partial _{ y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad ( 3.1)

från vilken du kan få alla ekvationer som används i litteraturen (med förbehåll för valet av motsatta K-punkter).

I litteraturen finns en Hamiltonian i formen [4]

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{ x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)

som erhålls från (3.1) om vi tar vinkeln . $\alpha =-\pi /2$

Lösning av Dirac-ekvationen

Betrakta Hamiltonian för en dal

H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i {\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)

Vågfunktionen representeras som en spinor som består av två komponenter

\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)

Denna funktion uppfyller följande ekvation för fria partiklar

\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi}{\partial x))+{\frac {\partial \chi}{\partial y)) \right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi}{\partial x))+{\frac {\partial \phi}{\partial y} }\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)

Genom att ersätta den andra ekvationen med den första får vi vågekvationen

{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\phi}{\partial y^{2))}=-{ \frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)

vars lösning är en plan våg

\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.5)

Egenvärdena har formen av ett kontinuerligt linjärt spektrum

E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)

Den andra komponenten i vågfunktionen är lätt att hitta genom att ersätta den hittade lösningen i den andra ekvationen (4.3)

\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^ {{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\ sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.7)

Därför kan vågfunktionen för dalen skrivas som $K^{{+}}$

\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{ E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)

Litteratur

Lozovik Yu. E. , Merkulova S.P., Sokolik A.A. Kollektiva elektroniska fenomen i grafen //Phys. - 2008. -T. 178,nr 7. —S. 757–776.

Länkar

↑ Novoselov KS et al. "Tvådimensionell gas av masslösa Dirac-fermioner i grafen", Nature 438 , 197 (2005) doi : 10.1038/nature04233
↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii ND Elektroniska egenskaper hos grafen med en topologisk defekt Nucl. Phys. B 787 , 241 (2007) doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Förtryck
↑ Ando T. "Teorin om elektroniska tillstånd och transport i kolnanorör" J. Phys. soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi : 10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V.P., et. al. AC-ledningsförmåga hos grafen: från tätt bindande modell till 2+1-dimensionell kvantelektrodynamik Int. J. Mod. Phys. B 21 , 4611 (2007) doi : 10.1142/S0217979207038022