Friedmans ekvation

Friedmann-ekvationen är en ekvation inom kosmologin som beskriver utvecklingen av ett homogent och isotropiskt universum ( Friedmann-universumet ) i tiden inom ramen för den allmänna relativitetsteorin . Uppkallad efter Alexander Alexandrovich Fridman , som först härledde denna ekvation 1922 [1] .

Friedmanns ekvation

Friedman-ekvationen är skriven för Friedmann-metriken, som är en synkron metrik för ett homogent isotropiskt utrymme (ett utrymme med konstant krökning) [2] ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,

var är elementet av längd i utrymmet med konstant krökning, är skalan ("storlek") av universum. $dl^{2}$ $på)$

Utrymme med konstant krökning kan vara av tre typer - sfär (stängd), pseudosfär (öppen) och platt utrymme.

Sfäriska koordinater

Stängt (ändligt) universum med positiv rymdkurvatur

För ett slutet universum är Friedmann-måttet

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sin ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

var är det fotometriska avståndet , ; - sfäriska vinklar; — skalad tid ,. $r=a\cdot\sin\chi$ $\chi \i [0,\pi ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Komponenterna i Ricci-tensorn för detta mått är

R_{{\chi }}^{{\chi }}=R_{{\theta }}^({\theta }}=R_{{\phi }}^{{\phi }}=-{\frac { 1}{a^{{4}}}}(2a^{{2}}+a'^{{2}}+aa'')\;,

R_{{\eta }}^{{\eta }}={\frac {3}{a^{{4}}}}(a'^{{2}}-aa'')\;,

R=-{\frac {6}{a^{{3}}}}(a+a'')\;,

där primtal betyder differentiering med avseende på . $\eta$

För en idealisk vätska är energimoment-tensorn

T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,

var är energitätheten, är trycket. I synkrona koordinater är materia i vila, så 4-hastigheten är . $\epsilon$ $sid$ $u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}$

Tidskomponenten i Einsteins ekvation ,

R_{{\eta }}^{{\eta }}-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{{\eta }}^{{\eta }}\,,

med den specificerade Ricci-tensorn och energimomentum-tensorn och är Friedmann-ekvationen ,

{\frac {3}{a^{{4}}}}(a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Om förhållandet mellan energitätheten och trycket (tillståndsekvationen) är känt, kan beroendet av energitätheten på universums skala hittas med hjälp av energihushållningsekvationen $\epsilon$ $sid$ $a$

d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.

I detta fall kan lösningen av Friedmann-ekvationen uttryckas som en integral,

\eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1))))\,.

Ett öppet (oändligt) universum med negativ rymdkurvatur

För ett öppet universum är Friedmann-måttet

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sinh ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

var , ; - sfäriska vinklar; — skalad tid ,. $r=a\cdot\sinh\chi$ $\chi \i [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Uppenbarligen erhålls detta mått från det slutna universummåttet genom substitution . $\{a,\eta ,\chi \}\till \{ia,i\eta ,i\chi \}$

Följaktligen är Friedmann-ekvationen för ett öppet universum

{\frac {3}{a^{{4}}}}(-a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Öppet (oändligt) och platt universum

För ett platt universum är Friedmann-måttet

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\chi ^{{2}} (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

var , ; - sfäriska vinklar; — skalad tid ,. $r=a\chi$ $\chi \i [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Uppenbarligen erhålls detta mått formellt från det slutna universummåttet i gränsen . $r\ll a\till \infty$

Observera att där Friedmann-ekvationen för ett platt universum erhålls i den angivna gränsen som $a'/a^{2}={\dot a}/a$ ${\dot a}\equiv da/dt$

3{\frac {{{\dot a}}^{2}}{a^{{2}}}}=\kappa \epsilon \,.

Reducerade radiella koordinater

I dessa koordinater är metriken för ett utrymme med konstant krökning

dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},

var är sfäriska vinkelkoordinater; $\theta ,\phi$

r

- reducerad radiell koordinat, definierad enligt följande: omkretsen av radien med centrum i origo är lika med

r

2\pi r;

k

är en konstant som tar värdet 0 för ett platt utrymme, +1 för ett utrymme med konstant positiv krökning, −1 för ett mellanrum med konstant negativ krökning;

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

Lösningar till Friedmann-ekvationen

Friedmanns ekvation kan integreras analytiskt för två viktiga begränsningsfall, ett universum fyllt med damm och ett universum fyllt med strålning.

Anteckningar

↑ Friedman , A. Über die Krümmung des Raumes (tyska) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1922. - Bd. 10 , nej. 1 . - S. 377-386 . - doi : 10.1007/BF01332580 . - . (Engelsk översättning: Friedman, A. On the Curvature of Space (engelska) // General Relativity and Gravitation : journal. - 1999. - Vol. 31 , nr. 12. - P. 1991-2000 . - doi : 10.1023 / A : 1026751225741 . - . ). Det ursprungliga ryska manuskriptet av denna tidning finns bevarat i Ehrenfest-arkivet Arkiverat 29 juli 2020 på Wayback Machine .
↑ Gerard 't Hooft, Introduktion till allmän relativitet , ISBN 978-1589490000 , ISBN 1589490002

Länkar

Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expansion // Kosmologi. - Berlin : Springer, 2005. - S. 53-77. — ISBN 3-540-23261-3 .

Kosmologi
Grundläggande begrepp och objekt	Universum observerbart universum Rödförskjutning kosmologiska CMB-strålning Gravitationsvågor Universums expansion accelererad dold massa Mörk materia mörk energi
Universums historia	Big Bang stor rekyl Kronologi av Big Bang Inflation Primär nukleosyntes Rekombination Evolution av galaxer Universums ålder Universums framtid
Universums struktur	Universums struktur i stor skala Superkluster av galaxer Stor grupp av kvasarer Galaktisk tråd Tomhet Hubble bubbla Universums form
Teoretiska begrepp	Historien om utvecklingen av idéer om universum Hubble lag Gravitationsinstabilitet Kosmologisk princip Kosmologiska modeller Kosmologisk singularitet De Sitter modell het universum modell Friedmans universum Ledsagaravstånd Kritisk densitet Friedmans ekvation Kosmologisk tillståndsekvation Lambda-CDM-modell
Experiment	Observationskosmologi 2dF 6dF Bumerang COBE SDSS WMAP Planck DES
Portal: Astronomi