Ekvation av tre moment

Ekvationen för tre moment är en ekvation för att beräkna moment i problemet med att böja en kontinuerlig flerspannbalk [ 1] .

Det är känt att en balk i närvaro av ytterligare stöd blir statiskt obestämd . En av metoderna för att beräkna sådana balkar är kraftmetoden . Med denna metod härleds ekvationen för tre moment [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\höger).

Här är arean av diagrammet över momenten för den i -te statiskt bestämmande strålen, är avståndet från tyngdpunkten för det i -te diagrammet till den vänstra änden av strålen, är avståndet från tyngdpunkten av det i -te diagrammet till den högra änden av balken, är längden av den i- :e balken. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $a_{i}$ $bi}$ ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i))$

Härledningen av ekvationen av tre moment ger att efter införandet av gångjärn över stöden erhålls ett statiskt bestämt system av balkar, som var och en är en enkel balk med stöd i ändarna. Krafter som är okända i metoden är moment som appliceras i ändarna av oberoende strålar. $n$

Historik

För första gången tillämpades ekvationen för att beräkna kontinuerliga balkar av brobyggaren och järnvägsingenjören Bertot 1855 [ 3] . Själva metoden användes tidigare (1849) vid rekonstruktionen av bron över Seine i Asnières (en förort till Paris , nu känd som Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ), men publicerades av Clapeyron i vetenskapsakademiens arbete först 1857. Så eftersom idén om ett grundläggande system med okända moment över stöd först uttrycktes av Clapeyron, är ekvationen av tre moment associerad med hans namn [4] . Teorin om kontinuerliga strålar utvecklades vidare i verk av Otto Mohr , som generaliserade teorin till fallet när stöden är placerade på olika höjder (1860).

Ansökningsförfarande

Proceduren för att lösa problemet med ekvationen av tre moment är som följer.

1 . Balken skärs i separata delar (enkla balkar) av ytterligare inre gångjärn vid fästpunkterna för stöden.

Beteckningar på reaktionerna hos de bildade bindningarna: - moment . ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n))$

2 . Spännena (sektioner av balken mellan stöden) är numrerade. Antalet flyg är . Den vänstra konsolen anses vara ett nollspann, den högra har numret . Spännlängder: , . $n$ $n+1$ $l_{i}$ $i=0,...,n+1$

3 . Från tillståndet för jämvikt för de fribärande delarna bestäms momenten och . De återstående momenten är okända för ekvationssystemet med tre moment. $M_{0}$ $M_{n}$ $n-1$

4 . Diagram över moment och skjuvkrafter i spännvidder och konsoler (om några) av balkarna är byggda från verkan av extern belastning. Varje spann är en separat statiskt definierad stråle. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Arean av diagram över moment , i spännvidder och avstånden från dessa områdens tyngdpunkter till vänster ( ) och höger ( ) stöd för motsvarande spann beräknas. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $i=1,...,n$ $a_{i}$ $bi}$

6 . Lösningen av ekvationssystemet med tre moment läggs till diagrammen över momenten från den externa belastningen. Det resulterande diagrammet är diagrammet över moment i en kontinuerlig stråle.

Exempel

Konstruera en plot av moment i en kontinuerlig balk 19 meter lång med fyra stöd (Fig. 1). En fördelad last kN/m, kN/m och en koncentrerad kraft kN verkar på balken. $q_{1}=10$ $q_{2}=12$ $P=9$

Ris. ett

Fribärande längd: m. Spännvidder: m. Vi erhåller kraftmetodens huvudsystem genom att föra in gångjärn över stöden (fig. 2). Momenten och är kända kvantiteter och bestäms utifrån konsolernas jämviktstillstånd. Det finns ingen rätt konsol här, . För den vänstra konsolen får vi . $l_{0}=4$ $l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$ $M_{0}$ $M_{3}$ $M_{3}=0$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Ris. 2

Vi bygger diagram över moment från en extern belastning i oberoende balkar av huvudsystemet (statiskt bestämda) (fig. 3). Vi bygger diagram på komprimerad fiber (som är brukligt inom maskinteknik; inom konstruktion och arkitektur, diagrammoment är vanligtvis byggda på en sträckt fiber).

Ris. 3

Vi skriver ner ekvationerna för tre moment:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1} /l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2} /l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$

Här löser vi ekvationssystemet kNm, kNm. Vi bygger ett diagram från dessa ögonblick (Fig. 4). $\Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2.333,$ $\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.$ $M_{1}=7.301$ $M_{2}=-39.325$

Ris. fyra

Vi lägger till (med poäng) diagram från lasten (fig. 3) och från momenten (fig. 4). Vi får diagrammet över momenten i strålen (fig. 5).

Ris. 5

En uppenbar fördel med metoden är enkelheten i matrisen för systemet med linjära ekvationer av problemet. Denna matris är tridiagonal , vilket gör det möjligt att tillämpa olika förenklade numeriska lösningsscheman.

Anteckningar

↑ Kirsanov M. N. . Lönn och Lönn. Lösningar på mekanikproblem. - St Petersburg. : Lan, 2012. - 512 sid. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Materialets styrka. - M. : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1960. - 536 sid. - S. 217.
↑ Bernstein S.A. Essäer om strukturmekanikens historia. - M . : Statens förlag för litteratur om konstruktion och arkitektur, 1957. - 236 sid. - S. 209.
↑ Timosjenko S. P. . Historien om vetenskapen om styrkan hos material. 2:a uppl. - M. : URSS, 2006. - 536 sid. — ISBN 5-484-00449-7 . - S. 176.

Litteratur

Kiselev V. A. . Strukturell mekanik. Allmän kurs. - M . : Stroyizdat, 1986. - 520 sid.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I. . Materialets styrka. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 sid. — ISBN 5-9221-0181-1 .