Appels ekvationer

I klassisk mekanik betraktas Appels ekvationer som en alternativ formulering av de allmänna rörelseekvationerna som Newton föreslagit. Avskedad av Paul Appel 1900 [ 1] . Trots det faktum att dessa ekvationer är helt likvärdiga med ekvationerna som erhålls från Newtons lagar och principen om minsta åtgärd , visar sig Appells ekvationer i vissa fall vara mer praktiska, i synnerhet när systemet är begränsat av mekaniska begränsningar .

Formulering

Låt ett mekaniskt system av materialpunkter med massor ges , på vilka geometriska (1) och linjära kinematiska (2) begränsningar är pålagda: $N$ $m_{1},m_{2},\dots ,m_{N}$

(ett)

f_{{\alpha }}({\mathbf {r}}_{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \alpha =1,.. .,d

(2)

\sum _{{\nu =1}}^{{N}}{\mathbf {A}}_{{\beta \nu }}({\mathbf {r}}_{1},..., {\mathbf {r}}_{N},t)\cdot {\mathbf {{\dot {r}}}}_{\nu }+A_{{\beta }}({\mathbf {r}} _{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g

Det är nödvändigt att beskriva systemets rörelse om de aktiva krafterna är kända (krafterna som verkar på varje punkt beror på tid, alla punkters läge och deras hastigheter), och systemets initiala tillstånd är känt (positionen och hastigheter för alla punkter vid det inledande ögonblicket). ${\mathbf {F}}_{1},...,{\mathbf {F}}_{N}$

Ett av de viktigaste antagandena om ett mekaniskt system, som är nödvändigt för giltigheten av Appel-ekvationerna, är att de framväxande tvångsreaktionerna antas vara idealiska, det vill säga att de inte fungerar totalt på någon virtuell förskjutning av punkterna av systemet.

I fallet med ett holonomiskt system, när kinematiska begränsningar är frånvarande eller integrerbara (det vill säga de reduceras till geometriska begränsningar), har Appell-ekvationerna formen:

(3)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{{k}}}}=G_{{k}}),\quad k=1,...,n

var

n=3N-d

är antalet geometriska frihetsgrader för systemet;

q_{1},...,q_{n}

- ett godtyckligt system av ömsesidigt oberoende generaliserade koordinater , som parametriserar utrymmet för möjliga geometriska positioner av systemet när som helst (således tar användningen av dessa koordinater helt hänsyn till de geometriska sambanden som påtvingas systemet);

G_{1},...,G_{n}

- "generaliserade krafter" - koefficienter i expansionen av det elementära arbetet av aktiva krafter på en godtycklig virtuell förskjutning :

\delta {\mathbf {r}}=(\delta {\mathbf {r}}_{1},...,\delta {\mathbf {r}}_{N})

\delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N }=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}

(4) är den så kallade "accelerationsenergin", i formel (3) är värdet en funktion av tid, generaliserade koordinater och deras derivator av 1:a och 2:a ordningen.

S={\frac {1}{2}}\summa _{{\nu =1}}^{{N}}m_({\nu }}{\mathbf {{\ddot {r}}}}_ {{\nu }}^{2}

S

I det icke-holonomiska fallet har Appel-ekvationerna praktiskt taget samma form (3), men i detta fall involverar formlerna inte generaliserade koordinater, utan pseudokoordinater, som introduceras enligt följande:

(5) .

{\dot {\pi }}_{k}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{{ik}}{\dot {q}}_{i}+\lambda _ {k},\quad k=1,...,ng

I dessa beteckningar anger punkten ovanför variabelnamnet inte operationen av differentiering med avseende på tid, utan är en del av ett enda variabelnamn. Variabeln , vars tidsderivata skulle sammanfalla med det skrivna uttrycket för alla banor för systemets rörelse, kanske inte existerar, därför hänvisas den till som en pseudovariabel (eller en pseudokoordinat). Alla ytterligare formler kommer att innehålla antingen dess derivator (åtminstone av första ordningen) eller differentialer, så dess pseudo-essens kommer inte att visa sig på något sätt. $\pi _{k}$ $\pi _{k}$

Koefficienterna och kan bero på tid och koordinater för punkterna. Dessutom måste de uppfylla villkoret att determinanten för matrisen av koefficienter för variabler i det linjära systemet som bildas av ekvationerna (5) och (2) (skrivna i generaliserade koordinater) inte försvinner. $\lambda _{{ik}}$ $\lambda _{{i}}$ ${\dot {q}}_{i}$

I fallet med ett icke-holonomiskt system har Appel-ekvationerna formen:

(6)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{{k}}}}=G_{{k}},\quad k=1,...,ng

var

n=3N-d

är antalet geometriska frihetsgrader för systemet;

\pi _{1},...,\pi _{{ng}}

— System av pseudokoordinater.

G_{1},...,G_{{ng}}

- "generaliserade krafter" - koefficienter i expansionen av de aktiva krafternas elementära arbete: ;

{\displaystyle \delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{ng))

funktionen S är densamma som i (4), men uttryckt i termer av variabler (i notationen av variabler är endast en av punkterna tidsderivatan!).

t,q_{1},...,q_{n},{\dot {\pi }}_{1},...,{\dot {\pi}}_{{ng}},{\ ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{{ng}}

{\ddot {\pi }}_{i}

För att erhålla ett komplett system av rörelseekvationer för systemet är det nödvändigt att lägga till ekvationerna för kinematiska begränsningar (2) och pseudokoordinatformler (5) till Appel-ekvationerna (6).

Anteckningar

↑ Appell, P. "Sur une forme générale des équations de la dynamique." (franska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazine. - 1900. - Vol. 121 . —S . 310—? .

Litteratur

P. Appels publikationer om denna fråga

Ytterligare läsning

Beryozkin E. N. Kursen för teoretisk mekanik - 2: a upplagan, reviderad och kompletterad - M . : Publishing House of Moscow State University - 1974, 645 s.