Eulers ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 mars 2013; kontroller kräver 7 redigeringar .

Inom fysiken beskriver Eulers ekvationer rotationen av en stel kropp i ett koordinatsystem relaterat till kroppen själv.

Slutsats

I referensramen för en extern observatör har ekvationerna för rotationsrörelse formen

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

I denna form är ekvationerna till liten nytta för övning, eftersom, i det allmänna fallet, båda komponenterna i momentet moment - tensorn för tröghetsmomentet och pseudovektorn för vinkelhastigheten - beror på tiden. Eulers idé var att flytta till en referensram som var stelt kopplad till en roterande kropp. I detta system är tröghetsmomentet tensor konstant, och det kan tas ut som en derivata. För ytterligare förenkling väljer vi dess huvudsakliga tröghetsaxlar som kroppens fasta axlar. Således kan vi dela upp förändringen i rörelsemängd i en komponent som beskriver förändringen i storlek och en komponent som kompenserar för denna riktningsändring . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Sedan tar ekvationerna formen:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

var är kroppens rörelsemängd i förhållande till de rumsliga axlarna, är ändringen i kroppens rörelsemängd i förhållande till dess fasta axlar, förändringshastigheten för Euler-vinklarna för axlarna som är associerade med kroppen med avseende på de rumsliga axlarna, och är det yttre vridmomentet. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

om vi ersätter det med komponenter kan vi ersätta det med ett uttryck . om vi väljer att basvektorerna sammanfaller med kroppens huvudsakliga tröghetsaxlar , då är de tre första termerna lika , och de återstående tre är . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt))$ $I_{1}{\dot {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Sedan tar Euler-ekvationerna i komponentform formen:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{matris}}

Det är också möjligt att använda dessa tre ekvationer om axlarna som det skrivs i inte är relaterade till kroppen. Då ska det ersättas av rotationen av axlarna istället för rotationen av kroppen. Det krävs dock fortfarande att de valda axlarna är de huvudsakliga tröghetsaxlarna! Denna form av Euler-ekvationerna är bekväm att använda för objekt som har rotationssymmetri , vilket gör att några av de huvudsakliga tröghetsaxlarna kan väljas godtyckligt. $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$

Typ av ekvationer i ett godtyckligt lokalt koordinatsystem

Det är möjligt att välja ett lokalt system som inte sammanfaller med kroppens huvudtröghetsaxlar. I det här fallet tar ekvationerna formen

N_{s}=I_{sq}{\dot {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

var är kroppens tröghetstensor i det valda lokala koordinatsystemet. ${\displaystyle I_{sq))$

Se även

Eulers formel (kinematik för en stel kropp) för anslutning av hastigheterna för punkter i en stel kropp
Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler