Runge-fenomen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 december 2017; verifiering kräver 1 redigering .

Fenomen (fenomen) Runge - i numerisk analys , effekten av oönskade svängningar som uppstår under interpolation av höggradiga polynom . Det upptäcktes av Carl Runge när han studerade felen i polynominterpolation för att approximera vissa funktioner [1] .

Låt oss betrakta en funktion.Om vi interpolerar den med ekvidistanta noder mellan −5 och 5. med ett polynom med en grad som är mindre än eller lika med , då kommer den resulterande interpolanten att oscillera närmare ändarna av intervallet. När graden av polynomet ökar tenderar interpolationsfelet till oändlighet : $f(x)={\frac {1}{1+x^{2))}.$ $x_{i}$ $x_{i}=-5+(i-1){\frac {10}{n)),\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}$ $P_n(x)$ $n$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-5\leq x\leq 5}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .$

En sådan effekt av tillväxten av avvikelse med tillväxten av graden av polynomet beror både på den valda sekvensen av noder och på den interpolerade funktionen. Nämligen, för vilken sekvens av noder som helst, kan man välja en sådan kontinuerlig funktion att felet för dess interpolering över dessa specifika noder kommer att växa i det oändliga. Å andra sidan, enligt Weierstrass approximationssats , för varje kontinuerlig funktion på ett intervall, kan man välja en sekvens av polynom som konvergerar enhetligt till denna funktion på ett intervall. Detta tillåter teoretiskt att man kan plocka upp (för just denna funktion) en sekvens av noder utan Runge-fenomenet.

Chebyshev-noder kan betraktas som en kompromiss , interpolationsfelet över dem minskar enhetligt för alla absolut kontinuerliga funktioner.

Anteckningar

↑ Runge, Carl . Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (tyska) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1901. - Bd. 46 . - S. 224-243 .