Liouville-Ostrogradsky formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 juni 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .

Liouville-Ostrogradsky- formeln är en formel som relaterar Wronsky-determinanten (Wronskian) för lösningar av en differentialekvation och koefficienterna i denna ekvation.

Låt det finnas en differentialekvation för formen

$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+.. .+P_{n}(x)y=0,$

var är då Vronsky-determinanten $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{ -\int P_{1}(x)dx},$ $W(x)$

För ett linjärt homogent system av differentialekvationer

$y'(x)=A(x)y(x),$ där är en kontinuerlig kvadratisk matris av ordning , Liouville-Ostrogradsky-formeln är giltig $Yxa)$ $n$

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ var är spåret av matrisen ${\mathop {{\rm {tr}}}}A(x)$ $Yxa)$

Differentieringsregel för en determinant av dimension 2

Derivatan av determinanten med avseende på variabeln x har formen $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}} (x)\end{vmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$ ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_ {{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\ börja{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11} }&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatrix}}$

Dimension Determinant Differentieringsregel $n$

Låta $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x) \\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{ n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{matris}}\höger)$

Då för derivatan är sann $\Delta '(x)$

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\dots &a_{{1n}}'(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}( x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{ 12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\dots &a_{{2n}}' (x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}}(x)\\ \end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}' (x)&a_{{n2}}'(x)&\dots &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$

(den -th raden är differentierad i -th termen ) $i$ $i$

Bevis

Vi använder formeln för fullständig expansion av determinanten

$\Delta (x)=\summa _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\ prickar ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)$

Summan tas över alla möjliga permutationer av tal , är permutationens paritet . $1,2,\prickar ,n$ $P(\cdot )$

Genom att differentiera detta uttryck med avseende på får vi $x$

${\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\summa _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P( i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\summa _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n }}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{ {2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\dots +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\summa _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}( -1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1) ^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x) \cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}} (-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{aligned}}$

I varje summa är elementen i den -th raden differentierade och endast de. Att ersätta summorna med determinanter får vi $i$

Bevis för en andra ordningens ekvation

Låt funktionerna i ekvationen vara kontinuerliga på , och $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ $p(x),q(x)$ $[a;b]$

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ är lösningar på denna ekvation.

Att differentiera Wronsky-determinanten får vi

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}'&y_{ {2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end {vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatrix}}$

Den första termen är 0, eftersom denna determinant innehåller 2 identiska rader. Ersätter

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

in i andra mandatperioden får vi

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'- qy_{2}\end{vmatrix}}$

Lägger vi den första raden, multiplicerad med q, till den andra, får vi

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}} =-pW$

lösningarna är linjärt oberoende , så

$W\neq 0\till {\frac {dW}{W}}=-pdx$ är en differentialekvation med separerbara variabler.

Integrering får vi

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x) dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Bevis för ett linjärt system av vanliga differentialekvationer

Låt vektorfunktioner vara lösningar av ett linjärt system av ODE. Vi introducerar matrisen enligt följande ${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\dots ,{{\mathbf y}}_{n}(x)$ $\Phi$

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\ prickar &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matris}}\right\|$

Sedan . Låt oss använda det faktum att det är lösningar för ODE-systemet, det vill säga . $W(x)\equiv \det \Phi (x)$ $y_{i}(x)$ ${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$

I matrisform kan den senare representeras som $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\ mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}( x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\ |=A(x)\Phi(x)$

eller genom att introducera derivatan av matrisen som en matris av derivaten av varje element

$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$

Låt vara den -: e raden i matrisen . Sedan $\varphi _{i}(x)$ $i$ $\Phi (x)$

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

Det senare betyder att derivatan av matrisens -:e rad är en linjär kombination av alla rader i matrisen med koefficienterna från matrisens - :e rad . Betrakta determinanten för matrisen där den -th raden är differentierad. Determinanten ändras inte om en linjär kombination av alla andra rader subtraheras från den e raden i denna matris. $i$ $\Phi (x)$ $i$ $Yxa)$ $\Phi (x)$ $i$ $i$

$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \ \\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x )\\\vdots \\\summa _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n }(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \ \\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)-\summa _{{j\neq i}}a_{{ij} }(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\ varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\ varphi _{n}(x)\\\end{matris}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$

Med hjälp av formeln för att differentiera determinanten får vi

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operatörsnamn {tr}A(x)W(x)$

Den sista vanliga differentialekvationen har en lösning

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatörsnamn {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Bevis för en linjär differentialekvation av godtycklig ordning

Linjär differentialekvation -:e ordningen $n$

$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x )+P_{n}(x)y(x)=0$

motsvarar följande system

${\begin{aligned}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\dots -P_{{n-1} }(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}} \\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{aligned }}$

med en matris av följande form $Yxa)$

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)& -P_{{n-1}}(x)&\dots &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matris}}\höger)$

Wronskians av den ursprungliga ekvationen och systemet sammanfaller, och spåret av matrisen är . Genom att ersätta systemet i formeln får vi $Yxa)$ $-P_{1}(x)$

$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int _{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Tillämpning av Liouville-Ostrogradsky-formeln

Låt lösningen av en linjär ordinär differentialekvation av andra ordningen vara känd, dvs. Med hjälp av Liouville-Ostrogradsky-formeln är det möjligt att hitta en lösning av samma system som är linjärt oberoende av det. $y_{1}(x)$ $n=2$ $y_{2}(x)$

Låt oss skriva Wronskian:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2 }}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$ det är därför

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int { \frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+Av_{1}$

Eftersom för linjärt oberoende och det är tillräckligt , förutsatt , får vi $y_{1}(x)$ $y_{2}(x)$ $W\neq 0$ $C=1,\,B=0$ $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Exempel

Låt en viss lösning vara känd i ekvationen . Genom att använda Liouville-Ostrogradsky-formeln får vi $y''-{\mathop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$ $y_{1}=\sin x$

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx))))=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Sedan den allmänna lösningen av den homogena ekvationen $y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\ synd x$

Litteratur som används

Agafonov S. A., tyska A. D., Muratova T. V. Differentialekvationer. Lärobok för gymnasieskolor. - M . : Förlag av MSTU im. Bauman , 1999. - 366 sid. — (Matematik vid tekniska högskolan; vol. VIII).
Romanko VK Kurs för differentialekvationer och variationskalkyl. - 2:a uppl. - M . : Laboratoriet för grundläggande kunskaper, 2001. - 344 sid.