Liouville-Ostrogradsky- formeln är en formel som relaterar Wronsky-determinanten (Wronskian) för lösningar av en differentialekvation och koefficienterna i denna ekvation.
Låt det finnas en differentialekvation för formen
var är då Vronsky-determinanten
För ett linjärt homogent system av differentialekvationer
där är en kontinuerlig kvadratisk matris av ordning , Liouville-Ostrogradsky-formeln är giltig
var är spåret av matrisen
Derivatan av determinanten med avseende på variabeln x har formen
Låta
Då för derivatan är sann
(den -th raden är differentierad i -th termen )
BevisVi använder formeln för fullständig expansion av determinanten
Summan tas över alla möjliga permutationer av tal , är permutationens paritet .
Genom att differentiera detta uttryck med avseende på får vi
I varje summa är elementen i den -th raden differentierade och endast de. Att ersätta summorna med determinanter får vi
Låt funktionerna i ekvationen vara kontinuerliga på , och
är lösningar på denna ekvation.
Att differentiera Wronsky-determinanten får vi
Den första termen är 0, eftersom denna determinant innehåller 2 identiska rader. Ersätter
in i andra mandatperioden får vi
Lägger vi den första raden, multiplicerad med q, till den andra, får vi
lösningarna är linjärt oberoende , så
är en differentialekvation med separerbara variabler.
Integrering får vi
Låt vektorfunktioner vara lösningar av ett linjärt system av ODE. Vi introducerar matrisen enligt följande
Sedan . Låt oss använda det faktum att det är lösningar för ODE-systemet, det vill säga .
I matrisform kan den senare representeras som
eller genom att introducera derivatan av matrisen som en matris av derivaten av varje element
Låt vara den -: e raden i matrisen . Sedan
Det senare betyder att derivatan av matrisens -:e rad är en linjär kombination av alla rader i matrisen med koefficienterna från matrisens - :e rad . Betrakta determinanten för matrisen där den -th raden är differentierad. Determinanten ändras inte om en linjär kombination av alla andra rader subtraheras från den e raden i denna matris.
Med hjälp av formeln för att differentiera determinanten får vi
Den sista vanliga differentialekvationen har en lösning
Linjär differentialekvation -:e ordningen
motsvarar följande system
med en matris av följande form
Wronskians av den ursprungliga ekvationen och systemet sammanfaller, och spåret av matrisen är . Genom att ersätta systemet i formeln får vi
Låt lösningen av en linjär ordinär differentialekvation av andra ordningen vara känd, dvs. Med hjälp av Liouville-Ostrogradsky-formeln är det möjligt att hitta en lösning av samma system som är linjärt oberoende av det.
Låt oss skriva Wronskian:
det är därför
Eftersom för linjärt oberoende och det är tillräckligt , förutsatt , får vi
Låt en viss lösning vara känd i ekvationen . Genom att använda Liouville-Ostrogradsky-formeln får vi
Sedan den allmänna lösningen av den homogena ekvationen