Wronskian

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 januari 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Wronskian , eller Wronskys determinant , är en funktion definierad för ett system av funktioner på ett intervall som är differentierbara -tider. Den ges som determinant för följande matris : $W(f_{1},\dots f_{n})(x)$ $f_1(x),\ldots f_n(x)$ $jag$ $(n-1)$

W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) ) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x ) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

En Wronskian är också en funktion som definieras av en determinant av en mer allmän form. Låt nämligen n vektorfunktioner med n komponenter ges: . Då kommer determinanten att se ut så här (för att undvika diskrepanser betecknar vi den med ): $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)$ $W_2$

W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n ^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Uppkallad efter den polske matematikern Józef Wronski . Termen "Wronskian" föreslogs av den skotske matematikern Thomas Muir i hans monografi från 1882 om determinanter [1] .

Vronsky-determinanten används för att lösa differentialekvationer , till exempel för att ta reda på om lösningarna som hittas för en homogen linjär differentialekvation (eller ekvationssystem) är linjärt oberoende. Detta hjälper till att hitta en generell lösning .

Egenskaper

Om är linjärt beroende av , då . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $jag$ $\forall x\in I\quad W(x)=0$

Om Wronsky-determinanten på intervallet inte är lika med noll åtminstone vid en punkt, då är funktionerna linjärt oberoende (en direkt följd av den föregående egenskapen). Det omvända är i allmänhet inte sant (se exempel 3), men för det fall när funktionerna är lösningar av en differentialekvation, kommer starkare följder att vara sanna (se nedan). $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

Om är lösningar av en linjär homogen differentialekvation av th ordningen, då kallas Wronskian av denna ekvation . Wronsky-determinanten för en homogen differentialekvation är antingen identiskt lika med noll, vilket betyder att de är linjärt beroende, eller försvinner inte vid någon punkt , vilket betyder att funktionerna är linjärt oberoende . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $n$ $W(f_1, \ldots ,f_n)$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $jag$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

$W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ , där är Wronsky-determinanten, där raden med nummer i ersätts av en rad med derivator: $W_i$

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1 }(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix}$

Denna formel är sann för att differentiera determinanterna för alla kvadratiska matriser.

Exempel

Låt oss verifiera att Wronskian för linjärt beroende funktioner är lika med noll: $1, x^2, 3+2x^2$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x- 8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.

Låt oss nu kontrollera funktionernas linjära oberoende $1,x,x^3$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Det finns punkter där Wronskian inte är noll (i vårt fall är detta vilken punkt som helst utom x=0). Därför kommer dessa funktioner, oavsett intervall, att vara linjärt oberoende.

Låt oss nu ge ett exempel där Wronskian är noll överallt, men funktionerna fortfarande är linjärt oberoende. Låt oss definiera två funktioner:

f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}

Båda funktionerna är differentierbara överallt (inklusive vid noll, där derivatan av båda funktionerna försvinner). Låt oss verifiera att Wronskian är noll överallt.

W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}

Dessa funktioner är dock uppenbarligen linjärt oberoende. Vi ser att jämlikheten av Wronskian till noll inte medför ett linjärt beroende vid ett godtyckligt val av funktioner.

Se även

Anteckningar

↑ Matematik från XVIII-talet // Matematikens historia. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 70.

Litteratur

Romanko V.K. kapitel 5 och 6 // differentialekvationers förlopp och variationskalkyl. - 2:a uppl. - M . : Laboratory of Basic Knowledge, 2002. - S. 158-164, 174-177. - (Tekniskt universitet). - 3000 exemplar. — ISBN 5-93208-097-3 .