Grundläggande matris

Grundmatrisen för ett system av linjära homogena differentialekvationer är en matris vars kolumner bildar det grundläggande lösningssystemet för detta system [1] .

Grundmatrisen, normaliserad vid punkten , särskiljs från uppsättningen av alla grundläggande matriser i det givna systemet genom villkoret , där är identitetsmatrisen , och kallas matrisanten . $t_0$ $\Med)$ $F(t_{0})=E$ $E$

Determinanten för en fundamental matris kallas dess Wronskian och betecknas . En viktig egenskap hos Wronskian i en fundamental matris är att den inte försvinner vid något tillfälle. $Med)$ $W_{F}(t)$

Kriterium för fundamentalitet

Tillsammans med ett linjärt homogent system av differentialekvationer

{\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)

överväga motsvarande matrisekvation

{\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)

var finns en okänd kvadratisk matris. $X=X(t)$

Sats. Den givna matrisfunktionen är grundmatrisen för det linjära systemet av differentialekvationer (1) om och endast om den är en lösning av matrisekvationen (2) och har en determinant som inte är noll vid någon (godtycklig) punkt. $X=F(t)$

Bevis. Observera att matrisfunktionen kommer att vara en lösning på matrisekvationen (2) om och endast om någon av dess kolumner är en lösning till det linjära homogena systemet (1). Faktum är att likheten mellan kolumner med siffror i den vänstra och högra delen av matrisekvationen (2) har formen , som sammanfaller med det linjära homogena systemet (1). Nu följer det formulerade kriteriet från definitionerna och egenskapen hos Wronskian som nämns ovan , eftersom det linjära oberoendet av kolumnerna i en matris är ekvivalent med skillnaden mellan determinanten för denna matris från noll. $X=F(t)$ $\varphi_k$ $k$ $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$

Anteckningar

↑ Encyclopedia of Mathematics , Ed. collegium: I. M. Vinogradov (redaktörschef) [m.fl.] M., "Sovjetuppslagsverket", 1977-1985.

Litteratur

Arnold V. I. Vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1966.
Petrovsky IG Föreläsningar om teorin om vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1970.
Pontryagin L. S. Vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1974.