Modifierade Bessel-funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Modifierade Bessel- funktioner är Bessel-funktioner av ett rent imaginärt argument.

Om i Bessel differentialekvation

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega}{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

ersätt med , kommer det att ta formen $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Denna ekvation kallas den modifierade Bessel-ekvationen .

Om det inte är ett heltal, fungerar Bessel och är två linjärt oberoende lösningar av ekvationen . Funktionerna är dock vanligare $\nu$ $J_{\nu }(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(ett)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu}\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

och

I_{-\nu }(z).

De kallas modifierade Bessel-funktioner av det första slaget eller Infeld-funktioner . Om är ett reellt tal och z är icke-negativ, så tar dessa funktioner reella värden. $\nu$

$\nu$ kallas ordningen för funktionen.

Fungera

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr ]}

är också en lösning på ekvationen . Det kallas den modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget eller Macdonald- funktionen . Det är uppenbart $(ett)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

och tar verkliga värden om är ett reellt tal och är positivt. $\nu$ $z$

Funktioner i heltalsordning

Eftersom , för en helhet , som det grundläggande systemet för lösningar av ekvationen , vi väljer och var $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(ett)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu}(z).

Återkommande relationer och differentieringsformler

Modifierade Bessel-funktioner av det första slaget

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu}I_{\nu}(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu}(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu}(z).

Modifierade Bessel-funktioner av det andra slaget

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu}(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu}(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Wronskiskt system med modifierade Bessel-funktioner

W\left[I_{\nu}(z),I_{-\nu}(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu}(z),K_{\nu}(z)\right]=-z^{-1}.

Integral representationer

Modifierade Bessel-funktioner av det första slaget

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu}z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu}dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

är gammafunktionen .

I_{\nu}(z)={\frac {2^{1-\nu}z^{\nu}}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu}z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi}e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Modifierade Bessel-funktioner av det andra slaget

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu}}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu}}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu)>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Asymptotiskt beteende

I_{\nu}(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{ z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu}(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Specialfall:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Notera

Det finns en klassisk Schlömilch -serie i Bessel j-funktioner [1] [2]

Se även

Cylindriska funktioner

Litteratur

Watson G. Theory of Bessel funktioner. T. 1, 2. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Högre transcendentala funktioner. Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom: referens matematiskt bibliotek. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 sid.

Anteckningar

↑ Lyakhov L.N. På Schlemilch j-serien. Vetenskapliga uttalanden. Serien "Matematik. Fysik". 2013. Nr 12 (155). Problem. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. Teori om Bessel funktioner. (Bok). Kapitel XIX. Rader av Schlemilch

Länkar

Weisstein, Eric W. modifierade Bessel-funktionen av första slaget (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Modifierade Bessel-funktion av andra slaget vid Wolfram MathWorld .