Betty nummer

Betti-tal är en sekvens av topologiska rymdinvarianter . Varje mellanslag motsvarar en sekvens av Betti-nummer . $X$ $\beta _{0}(X),\beta _{1}(X),\dots$

Betti-talet noll sammanfaller med antalet anslutna komponenter; $\beta _{0}(X)$
Det första Betti-talet representerar intuitivt det maximala antalet snitt i detta utrymme som kan göras utan att öka antalet anslutna komponenter. $\beta _{1}(X)$

Betty-talet kan ta icke-negativa heltalsvärden eller oändlighet . För ett någorlunda välordnat ändligt dimensionellt utrymme (som ett kompakt grenrör eller ett ändligt förenklat komplex ) är alla Betti-tal ändliga och, med början vid något tal, försvinner de.

Termen "Betty-nummer" myntades av Henri Poincaré , som döpte dem efter den italienske matematikern Enrico Betti .

Definition

k -th Betty nummer rang , $\beta _{k}(X)=$ $H_{k}(X)$

var är den k : te homologigruppen i utrymmet X , som är abelsk , rang anger rangordningen för denna grupp. $H_{k}(X)$

På motsvarande sätt kan man definiera det som dimensionen av vektorrummet H k ( X ; Q ), eftersom homologigruppen i detta fall är ett vektorrum över Q :

$\beta _{k}(X)=$ dim H k ( X ; Q )

Ekvivalensen av dessa definitioner i enkla fall visas av universella koefficientsatsen .

I mer allmänna fall, för ett givet fält F , kan man definiera det k -: te Betti-talet med koefficienter i F som dimensionen av vektorrummet Hk ( X , F ). $\beta _{k}(X,F)$

Relaterade definitioner

Poincare-funktionen för utrymmet X är genereringsfunktionen för sekvensen av Betti-tal i utrymmet X : $P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .$

Det första Betti-talet i grafteorin

I topologisk grafteori är det första Betti-talet i en graf G med n hörn, m kanter och k anslutna komponenter

\beta _{1}(G)=m-n+k.\

Detta kan bevisas direkt genom matematisk induktion på antalet kanter. Den nya kanten ökar antingen antalet 1-cykler eller minskar antalet anslutna komponenter .

Det första Betti-talet i en graf är detsamma som det cyklomatiska numret för denna graf.

Egenskaper

För ett ändligt förenklat komplex K genereras homologigrupperna Hk ( K ) ändligt och har följaktligen ändlig rangordning. Om k överskrider den maximala dimensionen för förenklingar K , då är motsvarande homologigrupper noll. I detta fall
- Euler-karakteristiken K kan uttryckas enligt följande $\chi (K)=\summa _{{i=0}}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)$
- Poincare-funktionen är ett polynom .
Enligt Künneth-satsen , för två valfria rum X och Y , gäller följande relation för Poincaré-funktionerna

P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},

Om X är ett stängt och orienterbart n - dimensionellt grenrör , då, enligt Poincaré-dualitet , för varje k : $\beta _{k}(X)=\beta _{{nk}}(X).$

Exempel

Sekvens av Betty-nummer för en cirkel : 1, 1, 0, 0, 0, …; $S^{1}$ Poincaré-polynom: . $1+x$
Sekvensen av Betti-tal för en tvådimensionell torus : 1, 2, 1, 0, 0, 0, …; $T^{2}$ Poincaré-polynom: . $1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}$
Sekvensen av Betti-tal för en tredimensionell torus är : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … . $T^3$ Poincaré-polynom: . $1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}$
På liknande sätt, för en n - dimensionell torus , är Poincare-polynomet , det vill säga Betti-talen är binomiska koefficienter . $(1+x)^{n}$
Oändliga dimensionella utrymmen kan ha en oändlig sekvens av Betti-tal som inte är noll. Till exempel har ett oändligt dimensionellt komplext projektivt utrymme en sekvens av Betti-tal 1, 0, 1, 0, 1, ... som är periodisk med period 2. I detta fall är Poincaré-funktionen inte ett polynom, som representerar en oändlig serie, som är en rationell funktion: ${\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\dotsb .$
- I allmänhet uttrycks Poincare-serien av en rationell funktion om och endast om sekvensen av Betti-tal är linjärt återkommande .

Litteratur

Dold A. Föreläsningar om algebraisk topologi. — M. : Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989