Epsilon-nummer

Epsilontal är ordningstal som introducerats av den tyske matematikern Gerg Kantor och är fixpunkter för en funktion , det vill säga uppfyller ekvationen där är den första transfinita ordningen. Epsilon-tal kan definieras enligt följande (som suprema av transfinita sekvenser ): $f(\alpha )=\omega ^{\alpha },$ $\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },$ $\omega$

$\varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega )),\omega ^{\omega ^{ \omega ^{\omega ))},...\};$
$\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{ \varepsilon _{\alpha }+1)),\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1))},...\};$
${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta }|\beta <\alpha \))$ för gränsordningen $\alfa.$

Den minsta ordinalen som är en fast punkt i en funktion kallas Cantor-ordinal och betecknas som $f(\alpha )=\varepsilon _{\alpha },$ $\zeta _{0}.$

\zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0)),\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0)) },\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.

Därefter, 1908, utvecklade Oswald Veblen en mer kraftfull ordningsnotation, hierarkin av funktioner . Enligt Veblen notation . $\varphi _{\alpha }$ $\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )$

Länkar

J. H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
Avsnitt XIV.20 i Sierpiński, Wacław (1965), kardinal- och ordningsnummer (andra reviderade upplagan), PWN - Polish Scientific Publishers