Klocknummer

Bell- numret är numret på alla oordnade partitioner i -elementuppsättningen, betecknade med , och, per definition, antas vara . $n$ $B_{n}$ $B_{0}=1$

Värdena för bildar en sekvens [1] : $B_{n}$ $n=0,1,2,\prickar$

1, 1 , 2 , 5 , 15 , 52 , 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

Bellnummerserien indikerar antalet sätt på vilka numrerade bollar kan fördelas mellan identiska lådor. Dessutom gör Bell-tal det möjligt att ta reda på hur många sätt det finns att faktorisera ett sammansatt tal som består av primtalsfaktorer [2] . $n$ $n$ $n$

Klocknummer är uppkallade efter Eric Bell , som skrev om dem på 1930-talet.

Matematiska egenskaper

Klockantalet kan beräknas som summan av Stirlingtal av det andra slaget :

B_{n}=\summa _{m=0}^{n}S(n,m),

och även satt i rekursiv form:

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.

För klocknummer är Dobinsky-formeln [3] också giltig :

B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.

Om är prime, då är Touchards jämförelse sann: $sid$

B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p))

och mer allmänt:

B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.

Den exponentiella genererande funktionen för klocktal har formen [4]

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!)}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A000110 _
↑ del Cid, 2014 , Bell Numbers, sid. 105.
↑ Introduktion till diskret matematik, 2006 , sid. 202.
↑ Introduktion till diskret matematik, 2006 , sid. 200.

Litteratur

Lamberto Garcia del Cid. Anmärkningsvärda siffror: Noll, 666 och andra bestar. - M . : "De Agostini", 2014. - T. 21. - 160 sid. — (Matematikens värld: i 40 band). - LBC 22.1 . — UDC 51(0,062) . - ISBN 978-5-9774-0682-6 .
Yablonsky SV Introduktion till diskret matematik. - M . : Högre skola, 2006. - 392 sid. — ISBN 5-06-005683-X .

Länkar

Bell, E.T. (1934). "Exponentiella polynom" . Annals of Mathematics . 35 :258-277. DOI : 10.2307/1968431 . JSTOR 1968431 ..
Bell, E.T. (1938). "De itererade exponentiella heltal" . Annals of Mathematics . 39 : 539-557. DOI : 10.2307/1968633 . JSTOR 1968633 ..